Prozentrechner

Die fünf Formeln

Hinter dem Wort „Prozentrechner“ verbergen sich fünf verschiedene Fragen, und wer die falsche beantwortet, bekommt eine selbstbewusste Zahl auf eine Frage, die er nie gestellt hat. Genau deshalb stehen alle fünf gleichzeitig auf der Seite. Hier sind sie als schlichte Rechnung, wobei X und Y das sind, was Sie in die beiden Felder des jeweiligen Rechners eintragen.

• Wie viel sind X % von Y? — Y × X ÷ 100. Ein Rabatt von 25 % auf 60 nimmt 15 weg.
• X sind wie viel Prozent von Y? — X ÷ Y × 100. 15 von 60 sind 25 %.
• Wie groß ist die prozentuale Änderung von X auf Y? — (Y − X) ÷ X × 100. Von 40 im letzten Monat auf 60 in diesem ist ein Anstieg um 50 %.
• Wie viel sind X nach einer Änderung um Y %? — X + X × Y ÷ 100. 60 nach 20 % Rabatt sind 48, in einem Schritt statt in zweien.
• X sind Y % wovon? — X ÷ (Y ÷ 100). Sind 118 der Preis mit bereits enthaltenen 18 % Mehrwertsteuer, so lag der Preis davor bei 100.

Ein Wort zieht sich durch den Rest dieser Seite: Die Basis ist der Wert, an dem ein Prozentsatz gemessen wird — die Zahl, durch die die Rechnung teilt. Zwei der fünf haben überhaupt keine Basis, weil sie nur durch hundert teilen: „X % von Y“ und „X nach einer Änderung um Y %“ funktionieren für jedes Zahlenpaar, das Sie eintippen können, und ihre Antworten gehen immer glatt auf. Die anderen drei teilen durch eine Zahl, die Sie gewählt haben, und deshalb kann man nur diesen dreien eine Frage stellen, die keine Antwort hat, und nur diese drei können eine Antwort liefern, deren Ziffern nie enden.

Ein Anstieg um 20 % und ein Rückgang um 20 % heben sich nicht auf

Erhöhen Sie 100 um 20 %, und Sie haben 120. Nehmen Sie davon 20 % weg, und Sie haben 96, nicht 100. Die beiden Bewegungen sind in Prozent gleich groß und in Worten gleich weit, und trotzdem stehen Sie am Ende 4 % tiefer.

Nichts ist schiefgegangen. Die beiden Prozentsätze sind an verschiedenen Basen gemessen: Der Anstieg sind 20 % von 100, also 20, der Rückgang sind 20 % von 120, also 24. Ein Prozentsatz ist nie für sich genommen eine Menge — er ist eine Menge im Verhältnis zu etwas, und dieses Etwas hat sich dazwischen geändert.

Der Abstand ist eine Regel und kein Zufall. Ein Anstieg beliebiger Größe, auf den ein Rückgang derselben Größe folgt, verliert immer, und er verliert immer gleich viel: 10 % und 10 % lassen Sie 1 % tiefer stehen, 20 % und 20 % lassen 4 %, 50 % und 50 % lassen 25 %. Auch die Reihenfolge spielt keine Rolle, denn der Multiplikation ist sie gleichgültig: Fallen Sie erst um 20 % und steigen Sie danach um 20 %, landen Sie wieder bei 96.

Hier liegt der Grund, warum eine Aktie, über die es heißt „minus 50 %, dann plus 50 %“, noch immer ein Viertel tiefer steht, und warum ein Rabatt auf einen Rabatt nicht die Summe der beiden ist. Wollen Sie wissen, was Sie tatsächlich zurückbrächte, fragen Sie den dritten Rechner: Von 120 auf 100 ist eine Änderung um −16,6667 %, nicht um −20 %.

Prozentpunkte sind keine Prozent

Eine Zentralbank hebt den Zinssatz von 2 % auf 3 %. Zwei Zeitungen berichten darüber. Die eine schreibt, die Zinsen seien um einen Punkt gestiegen, die andere, die Zinsen seien um 50 Prozent gestiegen. Beide haben recht, und wer die beiden Sätze für dieselbe Aussage hält, hat die Meldung um den Faktor fünfzig missverstanden.

• Ein Anstieg um einen Prozentpunkt. Das ist die Differenz zwischen den beiden Zahlen, abgezogen in den Einheiten, in denen sie ohnehin schon standen: 3 minus 2 ist 1.
• Ein Anstieg um 50 Prozent. Das ist die Änderung im Verhältnis zum Ausgangspunkt: 1 mehr auf einem Ausgangswert von 2 ist die Hälfte obendrauf.
• Dasselbe Ereignis, zwei wahre Sätze, zwei verschiedene Zahlen. Das Wort „Punkt“ ist es, das Ihnen sagt, welche der beiden gemeint ist, und es fällt weit häufiger weg, als es sollte.

Die Verwechslung kostet Geld, und zwar in der Richtung, die Sie erwarten würden. Eine Gebühr, die von 1 % auf 2 % steigt, ist um einen Prozentpunkt gestiegen und hat sich verdoppelt; sie als „1 % mehr“ anzugeben, lässt eine Verdopplung wie einen Rundungsfehler klingen. Es geht auch andersherum: Eine Umfrage, die von 40 % auf 44 % wandert, ist um vier Punkte gestiegen, und das als „4 % mehr“ zu beschreiben, sagt zu wenig, denn 4 % von 40 wären 1,6 Punkte.

Einen sechsten Rechner gibt es dafür bewusst nicht. Prozentpunkte sind Subtraktion — wollen Sie die Differenz in Punkten, ziehen Sie die beiden Zahlen voneinander ab, und Sie haben sie. Wofür sich ein Werkzeug lohnt, ist die andere Lesart, und das ist der dritte Rechner: Tippen Sie 2 und 3 in den Änderungsrechner, und er sagt Ihnen, dass dieselbe Bewegung ein Anstieg um 50 % ist.

Einen Prozentsatz umzukehren heißt nicht, ihn abzuziehen

Eine Rechnung lautet auf 118, und die 18 % Mehrwertsteuer stecken bereits in dieser Zahl. Wie hoch war der Preis vor der Steuer? Der verlockende Schritt ist, 18 % von 118 abzuziehen, was 96,76 ergibt. Die richtige Antwort ist 100, und Sie können sie in einem Schritt prüfen: 100 plus 18 % sind 118, während 96,76 plus 18 % 114,1768 sind.

Der Fehler ist derselbe wie im Abschnitt darüber, nur in einem anderen Mantel. Die 18 % wurden auf den Preis vor der Steuer aufgeschlagen, sind also 18 % von 100. Zieht man 18 % ab, nimmt man sie vom Preis nach der Steuer weg, also 18 % von 118 — eine größere Zahl, als je aufgeschlagen wurde. Einen Prozentsatz aufzuschlagen und denselben Prozentsatz abzuziehen sind keine Umkehroperationen, und der Unterschied ist nicht klein: Hier sind es 3,24, über drei Prozent des Preises vor Steuer.

Und er geht jedes Mal in dieselbe Richtung daneben, weshalb man ihn kennen und nicht bloß meiden sollte. Die Umkehrung durch Abziehen setzt die ursprüngliche Zahl jedes Mal zu niedrig an, und so weist ein Betrieb, der seine Mehrwertsteuer auf diese Weise zurückrechnet, auf jeder Rechnung, die er ausstellt, seinen eigenen Nettoumsatz zu klein aus.

Der fünfte Rechner ist die Umkehrung. Fragen Sie, wovon 118 die 118 % sind, und er antwortet 100. Derselbe Rechner erledigt auch Rabatte: Eine Jacke, die nach 20 % Rabatt 48 kostet, ist 48 bei 80 % ihres alten Preises — fragen Sie also, wovon 48 die 80 % sind, und er antwortet 60, nicht die 57,6, die herauskommen, wenn man 20 % wieder aufschlägt.

Wenn die Änderung unterhalb von null beginnt

Ein Betrieb macht in einem Jahr 10 Verlust und im nächsten 10 Gewinn. Das ist nach jeder Lesart eine Erholung, und die übliche Formel für die prozentuale Änderung liefert −200 %. Das Werkzeug zeigt Ihnen diese Zahl, nennt die Änderung im Satz darunter einen Anstieg und sagt Ihnen, dass die beiden nicht zusammenpassen.

Das Vorzeichen kommt verkehrt heraus, weil die Basis negativ ist. Die Änderung selbst ist +20, und +20 durch −10 zu teilen dreht das Vorzeichen des Ergebnisses um, während die Änderung, die es beschreibt, nach oben ging. Jede echte Änderung, die von einem negativen Ausgangswert aus gemessen wird, hat diese Eigenschaft, nicht nur diese eine: Unterhalb von null ist das Vorzeichen des Prozentsatzes das Gegenteil der Richtung, in die es tatsächlich ging.

Das Werkzeug könnte den Betrag der Basis nehmen und bequeme +200 % zurückgeben. Es tut es bewusst nicht. Tabellenkalkulationen, Buchhaltungsprogramme und jedes Lehrbuch verwenden die vorzeichenbehaftete Formel, und ein Werkzeug, das still eine andere nähme, stünde im Widerspruch zu der Zahl, an der Sie es prüfen, ohne dass Sie erkennen könnten, welches von beiden die Regeln geändert hat. Das Richtungswort wird getrennt ermittelt, allein aus der Differenz, und bleibt deshalb richtig, wo das Vorzeichen es nicht ist.

Was Ihnen damit bleibt, ist eine Zahl, die Sie mit Ihrer Tabelle abgleichen können, und ein Satz, den Sie einem Menschen sagen können, und das ist nicht derselbe Satz. In der Praxis ist eine prozentuale Änderung von einer negativen Basis aus in jedem Bericht eine Zahl, der man mit Misstrauen begegnen sollte: „von 10 Verlust auf 10 Gewinn verbessert“ trägt den Sachverhalt, „−200 %“ trägt ihn falsch, wie auch immer er berechnet wurde.

Kommas, Punkte und die Zahl, die Sie gemeint haben

Diese Seite gibt es in dreizehn Sprachen, und acht davon schreiben das Dezimaltrennzeichen als Komma — Deutsch gehört dazu. Ein Werkzeug, das 12,5 als hundertfünfundzwanzig läse, wäre in diesen Sprachen nicht ein wenig falsch, sondern still falsch in der Mehrheit von ihnen, und das bei Zahlen, die vollkommen gewöhnlich aussehen. Deshalb entscheidet die Sprache der Seite, auf der Sie sind, wie gelesen wird, und niemals die Einstellung des Rechners, an dem Sie sitzen.

Ihre eigene Sprache kommt zuerst, und was sich so nicht lesen lässt, andersherum aber eindeutig ist, wird trotzdem angenommen. Fügen Sie 12.5 aus einer Tabellenkalkulation auf dieser deutschen Seite ein, bekommen Sie zwölfeinhalb, denn eine andere Zahl könnte es nicht sein. Dazu wird nichts gesagt, weil nichts entschieden wurde: Es gab nur eine Lesart.

Übrig bleibt der wirklich mehrdeutige Fall, und er ist symmetrisch — kein Problem, das nur die Komma-Sprachen hätten. Ein Trennzeichen, auf das genau drei Ziffern folgen, kann ein Dezimaltrennzeichen oder ein Tausendertrennzeichen sein, welches Zeichen es auch ist. Auf dieser deutschen Seite ist 1,234 entweder eins Komma etwas oder eintausendzweihundertvierunddreißig, und 1.234 ist auf genau dieselbe Weise mehrdeutig; auf einer englischen oder japanischen Seite stellen dieselben beiden Schreibweisen dieselben beiden Fragen mit vertauschten Rollen. In jedem dieser Fälle entscheidet die Sprache der Seite, und das Werkzeug nennt die gewählte Lesart, damit eine Annahme, die Sie nicht wollten, sichtbar ist statt in der Antwort begraben.

Tausendertrennzeichen werden überall dort angenommen, wo sie mit nichts anderem zu verwechseln sind, also sind 1,048,576 und 1 048 576 beide eine Million und ein bisschen. Antworten werden mit den Trennzeichen Ihrer eigenen Sprache zurückgeschrieben, damit Sie ein Ergebnis in das Dokument einfügen können, aus dem die Zahlen stammten.

Genaue Antworten und die, die gerundet werden mussten

Prozentrechnung ist Rechnen, das Menschen mit der Hand nachprüfen, und deshalb rechnet das Werkzeug sie nicht so, wie eine Programmiersprache es täte. Es arbeitet in exakten Dezimalzahlen statt in den Gleitkommazahlen, nach denen ein Browser standardmäßig greift, und das heißt: Eine Antwort, die sich vollständig hinschreiben lässt, wird vollständig hingeschrieben, so lang sie auch ausfällt. 1 von 512 sind 0,1953125 %, alle sieben Stellen davon, und nicht 0,1953 %.

Manche Antworten lassen sich überhaupt nicht hinschreiben. 1 von 3 sind 33,3333… % mit unendlich vielen Dreien, und daran ändert keine Sorgfalt etwas. Solche werden auf vier Nachkommastellen gezeigt — eine Zahl, mit der Sie wirklich arbeiten können — und das Werkzeug sagt, dass es gerundet hat, und bietet darunter eine längere Entwicklung an. Der Sinn dieser Ansage ist, dass Sie die beiden Fälle auseinanderhalten können: Eine Zahl, unter der kein Hinweis steht, ist die ganze Antwort und keine aufgeräumte.

Diese Unterscheidung hält nur, weil der Hinweis selten ist, und selten ist er von Bauart — auf die Antworten, die endlos weiterlaufen, beschränkt ist er deshalb aber nicht. Die beiden Rechner ohne Basis teilen durch hundert und durch sonst nichts, aus ihnen kommt also nichts, was sich unendlich wiederholt. Multiplizieren Sie jedoch zwei lange Dezimalzahlen miteinander, so kann die exakte Antwort trotzdem weit länger ausfallen, als sich hinschreiben lässt: 0,0000001 % von 1,23456789 geht bei siebzehn Nachkommastellen genau auf und wird für die Anzeige gekürzt wie alles andere auch. Die fünf ausgerechneten Beispiele, mit denen die Seite beginnt, sind so gewählt, dass nichts davon sie betrifft: Jedes einzelne geht genau und kurz auf, ein Hinweis, der dort steht, bevor Sie irgendetwas getippt haben, würde also bedeuten, dass wirklich etwas gerundet wird.

Vier Nachkommastellen sind eine gute Regel für eine Zahl nahe eins und eine nutzlose für eine Zahl nahe null, wo ihnen nichts mehr zu zeigen bleibt. Ist eine Antwort also zu klein, als dass vier Stellen noch etwas sagen könnten — alles unter 0,00005 —, zählt das Werkzeug stattdessen vier gültige Ziffern, und die Entwicklung darunter zählt zwölf. Jene siebzehnstellige Antwort erscheint damit als 0,000000001235 und nicht als 0. Die Alternative wäre gewesen, die 0 hinzuschreiben und den Hinweis darunter die einzige echte Zahl der Karte tragen zu lassen; sie wurde verworfen, weil sie die Seite auf den Kopf stellt: Der Wert ist die Antwort und der Hinweis das Eingeständnis, nicht umgekehrt.