Calculadora de porcentagem

As cinco fórmulas

Atrás da expressão «calculadora de porcentagem» escondem-se cinco perguntas diferentes, e responder à errada devolve um número muito seguro de si para uma pergunta que você nunca fez. É exatamente por isso que as cinco estão na página ao mesmo tempo. Aqui estão elas como aritmética simples, em que X e Y são o que você digitar nos dois campos daquele painel.

• Quanto é X% de Y? — Y × X ÷ 100. Um desconto de 25% sobre 60 tira 15.
• X é quantos por cento de Y? — X ÷ Y × 100. 15 de 60 é 25%.
• Qual é a variação percentual de X para Y? — (Y − X) ÷ X × 100. Dos 40 do mês passado para os 60 deste mês há uma alta de 50%.
• Quanto é X após uma variação de Y%? — X + X × Y ÷ 100. 60 depois de um desconto de 20% é 48, em um único passo em vez de dois.
• X é Y% de quê? — X ÷ (Y ÷ 100). Se 118 é o preço com os 18% de IVA já embutidos, o preço antes do imposto era 100.

Uma palavra atravessa todo o resto desta página: a base é o valor em relação ao qual uma porcentagem é medida — o número pelo qual a conta divide. Duas das cinco não têm base nenhuma, porque só dividem por cem: «X% de Y» e «X após uma variação de Y%» funcionam para qualquer par de números que você consiga digitar, e as respostas delas saem sempre exatas. As outras três dividem por um número que você escolheu, e é por isso que só a essas três se pode fazer uma pergunta sem resposta, e só essas três podem produzir uma resposta cujos algarismos não terminam nunca.

Uma alta de 20% e uma queda de 20% não se anulam

Suba 100 em 20% e você tem 120. Tire 20% disso e você tem 96, não 100. Os dois movimentos têm o mesmo tamanho em porcentagem e a mesma distância em palavras, e ainda assim você termina 4% abaixo.

Nada deu errado. As duas porcentagens são medidas sobre bases diferentes: a alta é 20% de 100, ou seja 20, e a queda é 20% de 120, ou seja 24. Uma porcentagem nunca é uma quantidade por si só — é uma quantidade relativa a alguma coisa, e essa coisa mudou no meio do caminho.

A diferença é uma regra e não um acaso. Uma alta de qualquer tamanho seguida de uma queda do mesmo tamanho sempre perde, e sempre perde a mesma coisa: 10% e 10% deixam você 1% abaixo, 20% e 20% deixam 4%, 50% e 50% deixam 25%. A ordem também não importa, porque a multiplicação não liga para isso: caia 20% primeiro e suba 20% depois, e você cai de novo em 96.

É aqui que uma ação de que se diz «caiu 50% e depois subiu 50%» continua um quarto abaixo, e que um desconto sobre outro desconto não é a soma dos dois. Se você quer saber o que de fato traria tudo de volta ao começo, pergunte ao terceiro painel: de 120 para 100 há uma variação de −16,6667%, e não de −20%.

Pontos percentuais não são por cento

Um banco central move a taxa de juros de 2% para 3%. Dois jornais noticiam o fato. Um diz que os juros subiram um ponto; o outro, que os juros subiram 50 por cento. Os dois estão certos, e quem tomar as duas frases pela mesma afirmação leu a notícia errado por um fator de cinquenta.

• Uma alta de um ponto percentual. É a diferença entre as duas cifras, subtraída nas unidades em que elas já estavam escritas: 3 menos 2 é 1.
• Uma alta de 50 por cento. É a variação em relação ao ponto de partida: 1 a mais sobre um valor inicial de 2 é metade de novo.
• O mesmo acontecimento, duas frases verdadeiras, dois números diferentes. A palavra «ponto» é a que diz qual das duas está sendo citada, e ela é omitida muito mais vezes do que deveria.

A confusão custa dinheiro, e na direção que você esperaria. Uma taxa que sobe de 1% para 2% subiu um ponto percentual e dobrou; anunciá-la como «1% a mais» faz uma duplicação soar como erro de arredondamento. Também vale ao contrário: uma pesquisa que passa de 40% para 44% subiu quatro pontos, e descrever isso como «4% a mais» diz de menos, já que 4% de 40 seriam 1,6 ponto.

Não existe um sexto painel para isso, e é de propósito. Pontos percentuais são subtração — se você quer a diferença em pontos, subtraia as duas cifras e ela está feita. Aquilo para que vale a pena ter uma ferramenta é a outra leitura, e essa é o terceiro painel: digite 2 e 3 no painel de variação e ele diz que o mesmo movimento é uma alta de 50%.

Desfazer uma porcentagem não é subtraí-la

Chega uma nota de 118, e os 18% de IVA já estão dentro dessa cifra. Qual era o preço antes do imposto? A tentação é tirar 18% de 118, o que dá 96,76. A resposta certa é 100, e você pode conferir em um passo: 100 mais 18% é 118, enquanto 96,76 mais 18% é 114,1768.

O erro é o mesmo da seção acima, com outra roupa. Os 18% foram somados ao preço antes do imposto, então são 18% de 100. Subtrair 18% os tira do preço depois do imposto, ou seja, tira 18% de 118 — um número maior do que o que foi somado. Somar uma porcentagem e tirar a mesma porcentagem não são operações inversas, e a diferença não é pequena: aqui são 3,24, mais de três por cento do preço sem imposto.

E o erro cai sempre para o mesmo lado, o que é a razão de valer a pena conhecê-lo e não apenas evitá-lo. Desfazer por subtração deixa a cifra original baixa demais todas as vezes, então um negócio que reverta o IVA assim declara a menos o próprio faturamento sem imposto em cada nota que emite.

O quinto painel é essa reversão. Pergunte de que 118 é 118% e ele responde 100. O mesmo painel faz descontos: uma jaqueta que custa 48 depois de 20% de desconto é 48 a 80% do preço antigo, então pergunte de que 48 é 80% e ele responde 60 — não os 57,6 que saem de somar 20% de volta.

Quando a variação começa abaixo de zero

Um negócio perde 10 em um ano e ganha 10 no seguinte. Isso é uma recuperação por qualquer leitura, e a fórmula padrão da variação percentual devolve −200%. A ferramenta mostra essa cifra, chama a variação de alta na frase abaixo dela e avisa que as duas coisas não combinam.

O sinal sai invertido porque a base é negativa. A variação em si é +20, e dividir +20 por −10 vira o sinal do resultado enquanto a variação que ele descreve foi para cima. Toda variação real medida a partir de um valor inicial negativo tem essa propriedade, não só esta: abaixo de zero, o sinal da porcentagem é o contrário da direção em que as coisas de fato foram.

A ferramenta poderia tomar o valor absoluto da base e devolver um confortável +200%. De propósito, não faz isso. Planilhas, sistemas de contabilidade e todo livro-texto usam a fórmula com sinal, então uma ferramenta que em silêncio usasse outra ficaria em desacordo com a cifra que você está conferindo, e você não teria como saber qual das duas mudou as regras. A palavra que indica o sentido é calculada à parte, só a partir da diferença, e por isso continua certa onde o sinal não está.

O que sobra para você é uma cifra que dá para bater com a sua planilha e uma frase que dá para dizer a uma pessoa, e não são a mesma frase. Na prática, variação percentual a partir de uma base negativa é uma cifra para se olhar com desconfiança em qualquer relatório: «melhorou de um prejuízo de 10 para um lucro de 10» carrega o fato, e «−200%» carrega o fato errado, seja como for que ele tenha sido calculado.

Vírgulas, pontos e o número que você quis dizer

Esta página existe em treze idiomas, e oito deles escrevem o separador decimal com vírgula — o português entre eles. Uma ferramenta que lesse 12,5 como cento e vinte e cinco não estaria um pouco errada nesses idiomas: estaria silenciosamente errada na maioria deles, em números de aparência perfeitamente comum. Por isso a leitura é decidida pelo idioma da página em que você está, e nunca pela configuração da máquina em que você está sentado.

O seu próprio idioma vem primeiro, e o que não pode ser lido assim mas se lê sem ambiguidade do outro jeito é aceito mesmo assim. Cole 12.5 saído de uma planilha nesta página em português e você obtém doze e meio, porque não há outro número que isso pudesse ser. Nada é dito a respeito, porque nada foi decidido: só existia uma leitura.

Resta o caso genuinamente ambíguo, e ele é simétrico — não é um problema só dos idiomas de vírgula. Um separador seguido de exatamente três algarismos pode ser um separador decimal ou um separador de milhares, qualquer que seja o caractere. Nesta página em português, 1,234 é um e pouco ou mil duzentos e trinta e quatro, e 1.234 é ambíguo exatamente do mesmo jeito; numa página em inglês ou em japonês, essas duas mesmas escritas levantam as duas mesmas perguntas com os papéis trocados. Em todos esses casos quem decide é o idioma da página, e a ferramenta anuncia a leitura que usou, para que um palpite que você não queria fique à vista em vez de enterrado na resposta.

Separadores de milhares são aceitos sempre que não possam ser confundidos com outra coisa, então 1,048,576 e 1 048 576 são ambos um milhão e pouco. As respostas são escritas de volta com os separadores do seu próprio idioma, para que você possa colar um resultado no documento de onde os números saíram.

Respostas exatas e as que precisaram ser arredondadas

Porcentagem é conta que as pessoas conferem à mão, então a ferramenta não a calcula do jeito que uma linguagem de programação calcularia. Ela trabalha em decimais exatos e não nos números de ponto flutuante a que um navegador recorre por padrão, o que significa que uma resposta que pode ser escrita por inteiro é escrita por inteiro, por mais longa que ela seja. 1 de 512 é 0,1953125%, todas as sete casas, e não 0,1953%.

Algumas respostas não podem ser escritas de jeito nenhum. 1 de 3 é 33,3333…%, com os três correndo para sempre, e cuidado nenhum muda isso. Essas são mostradas com quatro casas decimais — uma cifra com que você realmente consegue trabalhar — e a ferramenta diz que arredondou e oferece embaixo uma expansão mais longa. O sentido de dizer isso é que você consiga distinguir as duas situações: um número sem aviso nenhum embaixo é a resposta inteira, e não uma resposta ajeitada.

Essa distinção só se sustenta porque o aviso é raro, e ele é raro por construção, embora não se limite às respostas que seguem para sempre. Os dois painéis sem base dividem por cem e por mais nada, então deles não sai nada que se repita sem fim. Mas multiplique dois decimais longos e a resposta exata ainda pode sair bem mais longa do que cabe escrever: 0,0000001% de 1,23456789 sai exata com dezessete casas decimais, e é encurtada para exibição como qualquer outra. Os cinco exemplos resolvidos com que a página começa foram escolhidos para que nada disso os alcance: todos eles saem exatos e curtos, então um aviso ali antes de você ter digitado qualquer coisa significaria que alguma coisa está mesmo sendo arredondada.

Quatro casas decimais são uma boa regra para um número perto de um e uma regra inútil para um número perto de zero, onde não lhes resta nada a mostrar. Por isso, quando uma resposta é pequena demais para que quatro casas digam alguma coisa — qualquer coisa abaixo de 0,00005 — a ferramenta conta quatro algarismos significativos no lugar delas, e a expansão de baixo conta doze. Aquela resposta de dezessete casas aparece então como 0,000000001235, e não como 0. A alternativa era imprimir o 0 e deixar o aviso de baixo carregando o único número de verdade do painel, e ela foi descartada por virar a página do avesso: o valor é a resposta e o aviso é a admissão, não o contrário.