Yüzde hesaplayıcı

Beş formül

Bir «yüzde hesaplayıcı» sözünün ardında birbirinden ayrı beş soru gizlenir ve yanlış olanı yanıtlamak, hiç sormadığınız bir soruya kendinden emin bir sayı verir. Beşinin de aynı anda sayfada durmasının nedeni tam olarak budur. İşte hepsi düz bir aritmetik olarak; burada X ile Y, ilgili panelin iki alanına ne yazarsanız odur.

• Y sayısının %X’i kaçtır? — Y × X ÷ 100. 60 üzerinden %25 indirim 15 eksiltir.
• X, Y sayısının yüzde kaçıdır? — X ÷ Y × 100. 15, 60’ın %25’idir.
• X sayısından Y sayısına yüzde değişim nedir? — (Y − X) ÷ X × 100. Geçen ayki 40’tan bu ayki 60’a %50’lik bir artıştır.
• X sayısı %Y değişirse kaç olur? — X + X × Y ÷ 100. 60, %20 indirimden sonra 48 eder; iki adımda değil, tek adımda.
• X, neyin %Y’sidir? — X ÷ (Y ÷ 100). 118, üzerine %18 KDV eklenmiş fiyatsa, KDV’den önceki fiyat 100’dü.

Sayfanın geri kalanında tek bir sözcük dolaşır: Taban, bir yüzdenin kendisine göre ölçüldüğü değerdir — aritmetikte bölen olan sayı. Beşinin ikisinde Taban hiç yoktur, çünkü onlar yalnızca yüze bölerler: «Y sayısının %X’i» ile «X sayısı %Y değişirse» yazabileceğiniz her sayı çifti için çalışır ve yanıtları hep tam çıkar. Öteki üçü sizin seçtiğiniz bir sayıya böler; yanıtı olmayan bir sorunun ancak bu üçüne sorulabilmesinin ve basamakları hiç bitmeyen bir yanıtı ancak bu üçünün üretebilmesinin nedeni budur.

%20’lik bir artış ile %20’lik bir düşüş birbirini götürmez

100’ü %20 artırın, 120 olur. Ondan %20 eksiltin, 100 değil 96 olur. İki hareket yüzde olarak aynı büyüklükte, sözcüklerde aynı uzaklıktadır ve yine de sizi %4 aşağıda bırakır.

Ters giden bir şey yok. İki yüzde farklı Tabanlara göre ölçülmüştür: artış 100’ün %20’si, yani 20; düşüş ise 120’nin %20’si, yani 24’tür. Bir yüzde asla tek başına bir nicelik değildir — bir şeye göre niceliktir ve o şey arada değişmiştir.

Aradaki fark bir kaza değil, bir kuraldır. Herhangi bir büyüklükteki bir artışın ardından aynı büyüklükte bir düşüş gelirse sonuç hep kayıpla biter ve kayıp hep aynıdır: %10 ile %10 sizi %1 aşağıda bırakır, %20 ile %20 %4, %50 ile %50 %25 aşağıda. Sıra da fark etmez, çünkü çarpma sırayı umursamaz: önce %20 düşüş, sonra %20 artış olsun — yine 96’da olursunuz.

«%50 düştü, sonra %50 çıktı» diye anlatılan bir hissenin hâlâ çeyreği kadar aşağıda olmasının ve indirim üstüne indirimin ikisinin toplamı etmemesinin nedeni buradadır. Sizi gerçekten başladığınız yere neyin döndüreceğini merak ediyorsanız üçüncü panele sorun: 120’den 100’e değişim −%20 değil, −%16,6667’dir.

Yüzde puan, yüzde değildir

Bir merkez bankası faizi %2’den %3’e çıkarır. İki gazete bunu haber yapar. Biri faizlerin bir puan yükseldiğini yazar, öteki faizlerin yüzde 50 yükseldiğini. İkisi de doğrudur ve bu iki cümleyi aynı iddia sanan okur, haberi elli kat yanlış anlamıştır.

• Bir yüzde puanlık artış. Bu, iki sayının farkıdır; zaten yazıldıkları birimde çıkarılır: 3 eksi 2, 1 eder.
• Yüzde 50’lik artış. Bu, değişimin başlangıç noktasına göre ölçülmüş hâlidir: 2’lik bir başlangıç değerine 1 eklemek, onun yarısı kadar daha demektir.
• Aynı olay, iki doğru cümle, iki farklı sayı. Hangisinin aktarıldığını size söyleyen «puan» sözcüğüdür ve olması gerekenden çok daha sık atlanır.

Bu karışıklık paraya mal olur, hem de tam beklediğiniz yönde. %1’den %2’ye çıkan bir ücret bir yüzde puan artmış ve ikiye katlanmıştır; bunu «%1 arttı» diye aktarmak, ikiye katlanmayı bir yuvarlama hatası gibi gösterir. Tersi de olur: %40’tan %44’e çıkan bir anket dört puan yükselmiştir ve bunu «%4 arttı» diye anlatmak eksik söyler, çünkü 40’ın %4’ü 1,6 puan ederdi.

Bunun için bilerek altıncı bir panel yok. Yüzde puan çıkarma işlemidir — puan farkını istiyorsanız iki sayıyı birbirinden çıkarın, elinizdedir. Asıl araç isteyen, öteki okumadır ve o da üçüncü paneldir: değişim paneline 2 ile 3’ü yazın, aynı hareketin %50’lik bir artış olduğunu size söylesin.

Bir yüzdeyi geri almak, onu çıkarmak değildir

Bir fatura 118 tutuyor ve %18 KDV bu rakamın içinde. Vergiden önceki fiyat neydi? Cazip görünen hamle, 118’den %18 eksiltmektir; bu 96,76 verir. Doğru yanıt 100’dür ve tek adımda sınayabilirsiniz: 100 artı %18, 118 eder; 96,76 artı %18 ise 114,1768.

Yanlış, bir üstteki bölümdekinin ta kendisidir, yalnızca başka bir kılıkta. %18, vergiden önceki fiyatın üzerine eklenmişti; yani 100’ün %18’idir. %18 eksiltmek ise onu vergiden sonraki fiyattan alır, yani 118’in %18’ini — eklenmiş olandan daha büyük bir sayıyı. Bir yüzdeyi eklemekle aynı yüzdeyi eksiltmek birbirinin tersi işlemler değildir ve aradaki fark küçük de değildir: burada 3,24’tür, vergi öncesi fiyatın yüzde üçünden fazlası.

Üstelik her seferinde aynı yöne kaçar; onu yalnızca kaçınılacak değil, bilinecek bir şey yapan da budur. Eksilterek geri almak, özgün rakamı her defasında olduğundan düşük gösterir; böylece KDV’sini bu yolla geri hesaplayan bir işletme, kestiği her faturada kendi vergi öncesi cirosunu eksik bildirir.

Beşinci panel bu geri almadır. 118, neyin %118’idir diye sorun, 100 yanıtını verir. Aynı panel indirimleri de yapar: %20 indirimden sonra 48’e mal olan bir ceket, eski fiyatının %80’i olarak 48’dir; öyleyse 48, neyin %80’idir diye sorun, %20’yi geri ekleyince bulacağınız 57,6’yı değil, 60’ı söylesin.

Değişim sıfırın altından başladığında

Bir işletme bir yıl 10 zarar ediyor, ertesi yıl 10 kâr. Bu, nasıl bakılırsa bakılsın bir toparlanmadır ve yüzde değişimin standart formülü −%200 döndürür. Araç size bu rakamı gösterir, altındaki cümlede değişime artış der ve ikisinin uyuşmadığını söyler.

İşaret ters çıkar, çünkü Taban negatiftir. Değişimin kendisi +20’dir ve +20’yi −10’a bölmek sonucun işaretini çevirir; oysa anlattığı değişim yukarı gitmiştir. Negatif bir başlangıç değerinden ölçülen her gerçek değişim bu özelliği taşır, yalnızca bu değil: sıfırın altında yüzdenin işareti, gerçekte gidilen yönün tersidir.

Araç, Tabanın mutlak değerini alıp rahat bir +%200 verebilirdi. Bunu bilerek yapmıyor. Hesap tabloları, muhasebe programları ve her ders kitabı işaretli formülü kullanır; sessizce başka bir formül kullanan bir araç, kendisini karşılaştırdığınız rakamla çelişirdi ve hangisinin kuralları değiştirdiğini anlamanızın yolu olmazdı. Yön sözcüğü ayrı olarak, yalnızca farka bakılarak belirlenir; işaretin doğru olmadığı yerde onun doğru kalmasının nedeni budur.

Elinizde kalan, hesap tablonuzla tutturabileceğiniz bir rakam ile bir insana aktarabileceğiniz bir cümledir ve bunlar aynı cümle değildir. Uygulamada, negatif bir Tabandan ölçülen yüzde değişim, her raporda kuşkuyla yaklaşılacak bir sayıdır: «10 zarardan 10 kâra düzeldi» olguyu aktarır, «−%200» ise nasıl hesaplanmış olursa olsun onu yanlış aktarır.

Virgüller, noktalar ve kastettiğiniz sayı

Bu sayfa on üç dilde var ve bunların sekizi ondalık ayırıcıyı virgülle yazıyor — Türkçe de bunlardan biri. 12,5’i yüz yirmi beş diye okuyan bir araç, o dillerde biraz yanlış olmaz; çoğunda, gayet sıradan görünen sayılar üzerinde sessizce yanlış olur. Bu yüzden okumayı, üzerinde bulunduğunuz sayfanın dili belirler; asla başında oturduğunuz makinenin ayarı değil.

Önce kendi diliniz gelir ve öyle okunamayan ama öteki türlü tek bir anlama gelen bir şey yine de kabul edilir. Bir hesap tablosundan çıkan 12.5’i bu Türkçe sayfaya yapıştırın, on iki buçuk elde edersiniz, çünkü başka bir sayı olamaz. Bu konuda bir şey söylenmez, çünkü karara bağlanan bir şey yoktur: tek bir okuma vardı.

Geriye gerçekten belirsiz olan durum kalır ve o simetriktir — yalnızca virgül dillerinin sorunu değildir. Ardından tam üç rakam gelen bir ayırıcı, hangi karakter olursa olsun, ondalık ayırıcı da olabilir binlik ayırıcı da. Bu Türkçe sayfada 1,234 ya bir virgül bir şeydir ya bin iki yüz otuz dört; 1.234 de tam olarak aynı biçimde belirsizdir. İngilizce ya da Japonca bir sayfada aynı iki yazım, roller yer değiştirmiş olarak aynı iki soruyu sorar. Bunların hepsinde kararı sayfanın dili verir ve araç hangi okumayı kullandığını duyurur; böylece istemediğiniz bir tahmin, yanıtın içine gömülmek yerine göz önünde durur.

Binlik ayırıcılar, başka bir şeyle karıştırılamayacakları her yerde kabul edilir; bu yüzden 1,048,576 ile 1 048 576 ikisi de bir milyon küsurdur. Yanıtlar kendi dilinizin ayırıcılarıyla geri yazılır; böylece bir sonucu, sayıların çıktığı belgeye yapıştırabilirsiniz.

Tam yanıtlar ve yuvarlanmak zorunda kalanlar

Yüzdeler, insanların elle kontrol ettiği aritmetiktir; bu yüzden araç onları bir programlama dilinin hesaplayacağı gibi hesaplamaz. Bir tarayıcının varsayılan olarak başvurduğu kayan noktalı sayılar yerine tam ondalıklarla çalışır; bu da şu demektir: tam olarak yazılabilen bir yanıt, ne kadar uzun olursa olsun, tam olarak yazılır. 512’de 1, %0,1953 değil, yedi basamağının hepsiyle %0,1953125’tir.

Kimi yanıtlar ise hiç yazılamaz. 3’te 1, üçleri sonsuza dek süren %33,3333…’tür ve bunu hiçbir özen değiştirmez. Bunlar dört ondalık basamağa kadar gösterilir — gerçekten kullanabileceğiniz bir rakam — ve araç yuvarladığını söyleyip altında daha uzun bir açılım sunar. Bunu söylemesinin anlamı, iki durumu birbirinden ayırabilmenizdir: altında uyarı olmayan bir sayı, derlenip toplanmış değil, yanıtın tamamıdır.

Bu ayrım yalnızca uyarı seyrek olduğu için tutar ve seyrekliği yapısaldır — ama uyarı, sonsuza dek süren yanıtlarla sınırlı değildir. Tabanı olmayan iki panel yüze böler, başka hiçbir şeye bölmez; dolayısıyla onlardan sonu gelmeksizin yinelenen bir şey çıkmaz. Yine de iki uzun ondalığı çarpın, tam yanıt yazmaya yer olandan çok daha uzun çıkabilir: 1,23456789 sayısının %0,0000001’i on yedi ondalık basamakta tam biter ve her şey gibi gösterim için kısaltılır. Sayfanın açılışındaki beş çözümlü örnek, bunların hiçbiri onlara dokunmasın diye seçildi: her biri tam ve kısa çıkıyor, dolayısıyla siz daha hiçbir şey yazmadan orada duran bir uyarı, gerçekten bir şeyin yuvarlandığı anlamına gelirdi.

Dört ondalık basamak, bire yakın bir sayı için iyi, sıfıra yakın bir sayı içinse gösterecek hiçbir şeyi kalmadığından işe yaramaz bir kuraldır. Bu yüzden bir yanıt, dört basamağın bir şey söyleyemeyeceği kadar küçükse — 0,00005’in altındaki her şey — araç onların yerine dört anlamlı basamak sayar, altındaki açılım ise on iki sayar. O on yedi basamaklı yanıt da 0 olarak değil, 0,000000001235 olarak görünür. Öteki yol, sıfırı basıp paneldeki tek gerçek sayıyı altındaki uyarıya yüklemekti; sayfayı baş aşağı çevirdiği için seçilmedi: değer yanıttır, uyarı ise itiraftır, tersi değil.