백분율 계산기

다섯 개의 공식

“퍼센트 계산기”라는 말 뒤에는 서로 다른 다섯 가지 질문이 숨어 있고, 그중 엉뚱한 것에 답하면 묻지도 않은 질문에 대한 자신만만한 숫자를 받게 됩니다. 다섯 가지를 한 화면에 모두 올려 둔 이유가 바로 그것입니다. 아래는 그 다섯 가지를 산수 그대로 적은 것이며, X와 Y는 해당 패널의 두 칸에 입력하는 값입니다.

• Y의 X%는 얼마인가? — Y × X ÷ 100. 60에 대한 25% 할인은 15를 깎아 줍니다.
• X는 Y의 몇 퍼센트인가? — X ÷ Y × 100. 60 중 15는 25%입니다.
• X에서 Y로의 변화는 몇 퍼센트인가? — (Y − X) ÷ X × 100. 지난달 40에서 이번 달 60으로는 50% 상승입니다.
• X를 Y% 변화시키면 얼마인가? — X + X × Y ÷ 100. 60에 20% 할인을 적용하면 48이며, 두 단계가 아니라 한 단계로 나옵니다.
• X가 Y%라면 전체는 얼마인가? — X ÷ (Y ÷ 100). 118이 18% 부가세가 이미 붙은 가격이라면, 세금 전 가격은 100이었습니다.

이 페이지의 나머지를 관통하는 낱말이 하나 있습니다. 기준값은 백분율이 무엇에 대해 재어지는지를 말하는 값, 곧 산수가 나누는 수입니다. 다섯 중 둘에는 기준값이 아예 없습니다. 오직 100으로만 나누기 때문입니다. “Y의 X%”와 “X를 Y% 변화시키면”은 입력할 수 있는 모든 수의 짝에 대해 동작하고, 그 답은 언제나 정확하게 떨어집니다. 나머지 셋은 사용자가 고른 수로 나눕니다. 그래서 답이 없는 질문을 받을 수 있는 것도 그 셋뿐이고, 자릿수가 끝나지 않는 답을 내놓을 수 있는 것도 그 셋뿐입니다.

20% 상승과 20% 하락은 서로 상쇄되지 않는다

100을 20% 올리면 120이 됩니다. 거기서 다시 20%를 빼면 100이 아니라 96이 됩니다. 두 움직임은 퍼센트로는 같은 크기이고 말로도 같은 거리인데, 그래도 4% 낮은 자리에 남습니다.

잘못된 것은 없습니다. 두 백분율은 서로 다른 기준값에 대해 재어졌습니다. 상승은 100의 20%라 20이고, 하락은 120의 20%라 24입니다. 백분율은 혼자서는 결코 양이 아닙니다. 무엇인가에 대한 상대적인 양이며, 그 사이에 그 무엇인가가 바뀌었습니다.

이 차이는 우연이 아니라 규칙입니다. 어떤 크기의 상승이든 같은 크기의 하락이 뒤따르면 언제나 손해이고, 언제나 같은 만큼 손해입니다. 10%와 10%는 1% 낮은 자리에, 20%와 20%는 4% 낮은 자리에, 50%와 50%는 25% 낮은 자리에 남깁니다. 순서도 상관없습니다. 곱셈은 순서를 따지지 않기 때문입니다. 먼저 20% 떨어뜨리고 나중에 20% 올려도 다시 96에 닿습니다.

“50% 떨어졌다가 50% 올랐다”고 보도된 주식이 여전히 4분의 1 낮은 곳에 있는 이유가 여기 있고, 할인 위에 얹은 할인이 두 할인의 합이 아닌 이유도 여기 있습니다. 무엇이 실제로 원래 자리로 되돌려 놓는지 알고 싶다면 세 번째 패널에 물어보십시오. 120에서 100으로는 −20%가 아니라 −16.6667%의 변화입니다.

퍼센트포인트는 퍼센트가 아니다

중앙은행이 기준금리를 2%에서 3%로 옮깁니다. 두 신문이 이를 보도합니다. 하나는 금리가 1포인트 올랐다고 하고, 다른 하나는 금리가 50퍼센트 올랐다고 합니다. 둘 다 옳습니다. 그리고 이 둘을 같은 주장으로 받아들인 독자는 그 기사를 오십 배만큼 잘못 읽은 것입니다.

• 1퍼센트포인트 상승. 이것은 두 수치를 이미 적혀 있던 단위 그대로 뺀 차이입니다. 3 빼기 2는 1입니다.
• 50퍼센트 상승. 이것은 출발한 자리에 견준 변화입니다. 시작값 2에 1이 더해졌으니 절반만큼 더 늘어난 것입니다.
• 같은 사건, 참인 두 문장, 서로 다른 두 숫자. 둘 중 어느 쪽을 말하는지 알려 주는 것이 바로 “포인트”라는 낱말이고, 그 낱말은 있어야 할 자리에서 너무 자주 빠집니다.

이 혼동은 예상 그대로의 방향으로 돈이 됩니다. 1%에서 2%로 오른 수수료는 1퍼센트포인트 오른 것이자 두 배가 된 것인데, 이를 “1% 인상”이라고 적으면 두 배를 반올림 오차처럼 들리게 만듭니다. 반대 방향으로도 통합니다. 40%에서 44%로 움직인 여론조사는 4포인트 오른 것인데, 이를 “4% 상승”이라고 쓰면 실제보다 작게 말하는 셈입니다. 40의 4%는 1.6포인트이기 때문입니다.

이를 위한 여섯 번째 패널은 일부러 두지 않았습니다. 퍼센트포인트는 뺄셈입니다. 포인트 차이가 필요하면 두 수치를 빼면 그것으로 끝입니다. 도구가 필요한 쪽은 다른 읽기이고, 그것이 세 번째 패널입니다. 변화 패널에 2와 3을 넣으면 같은 움직임이 50% 상승이라고 알려 줍니다.

퍼센트를 되돌리는 것은 빼는 것이 아니다

청구서가 118로 나왔고, 18% 부가세는 이미 그 숫자 안에 들어 있습니다. 세금 전 가격은 얼마였을까요? 솔깃한 방법은 118에서 18%를 빼는 것이고, 그러면 96.76이 나옵니다. 옳은 답은 100이며, 한 단계로 확인할 수 있습니다. 100 더하기 18%는 118이지만, 96.76 더하기 18%는 114.1768입니다.

이 실수는 앞 절의 실수가 옷만 갈아입은 것입니다. 그 18%는 세금 전 가격에 더해졌으니 100의 18%입니다. 18%를 빼면 세금 후 가격에서 빼는 것이므로 118의 18%를 덜어 내는데, 이는 애초에 더해진 적이 없는 더 큰 수입니다. 퍼센트를 더하는 것과 같은 퍼센트를 덜어 내는 것은 서로의 역연산이 아니며, 그 차이는 작지 않습니다. 여기서는 3.24로, 세금 전 가격의 3퍼센트가 넘습니다.

게다가 언제나 같은 방향으로 어긋나기 때문에, 피하기만 할 것이 아니라 알아 둘 값어치가 있습니다. 빼기로 되돌리면 원래 수치를 매번 낮게 잡게 되므로, 부가세를 이런 식으로 되돌리는 사업체는 발행하는 모든 청구서에서 자기 세전 매출을 실제보다 적게 신고하게 됩니다.

다섯 번째 패널이 바로 그 되돌리기입니다. 118이 무엇의 118%인지 물으면 100이라고 답합니다. 같은 패널이 할인도 처리합니다. 20% 할인 후 48인 재킷은 예전 가격의 80%에 해당하는 48이므로, 48이 무엇의 80%인지 물으면 60이라고 답합니다. 20%를 도로 더해서 얻는 57.6이 아닙니다.

변화가 0보다 아래에서 시작할 때

어떤 사업체가 한 해에 10을 잃고 그다음 해에 10을 법니다. 어떻게 읽어도 회복인데, 백분율 변화의 표준 공식은 −200%를 돌려줍니다. 도구는 그 수치를 보여 주고, 그 아래 문장에서는 이 변화를 상승이라 부르며, 둘이 서로 어긋난다고 알려 줍니다.

부호가 거꾸로 나오는 것은 기준값이 음수이기 때문입니다. 변화 자체는 +20이고, +20을 −10으로 나누면 결과의 부호가 뒤집히지만 그것이 가리키는 변화는 위로 향했습니다. 이 성질은 이 사례만의 것이 아니라, 음수인 출발값에서 잰 모든 실제 변화가 가지는 성질입니다. 0 아래에서는 백분율의 부호가 실제로 움직인 방향과 반대입니다.

도구는 기준값의 절댓값을 취해 편안한 +200%를 돌려줄 수도 있었습니다. 일부러 그렇게 하지 않습니다. 스프레드시트도, 회계 프로그램도, 모든 교과서도 부호 있는 공식을 쓰므로, 조용히 다른 공식을 쓰는 도구는 사용자가 대조하고 있는 수치와 어긋나게 되고, 둘 중 어느 쪽이 규칙을 바꿨는지 알 길이 없습니다. 방향을 가리키는 낱말은 차이만으로 따로 계산하므로, 부호가 맞지 않는 자리에서도 방향은 맞습니다.

그래서 손에 남는 것은 스프레드시트와 맞춰 볼 수 있는 수치와 사람에게 말할 수 있는 문장이고, 이 둘은 같은 문장이 아닙니다. 실무에서 음수 기준값에서 잰 백분율 변화는 어떤 보고서에서든 의심하며 다룰 만한 수치입니다. “10 손실에서 10 이익으로 개선되었다”는 사실을 담지만, “−200%”는 어떻게 계산하든 그 사실을 잘못 담습니다.

쉼표와 마침표, 그리고 뜻한 수가 무엇이었는지

이 페이지는 열세 개 언어로 존재하고, 그중 여덟 개는 소수점을 쉼표로 씁니다. 12,5를 백이십오로 읽는 도구는 그 언어들에서 조금 틀린 정도가 아니라, 아주 평범해 보이는 수 위에서, 그 다수의 언어에서 소리 없이 틀린 것이 됩니다. 그래서 읽는 방식은 지금 보고 있는 페이지의 언어가 정하며, 앉아 있는 기계의 설정이 정하는 일은 결코 없습니다.

자기 언어가 먼저 오고, 그렇게는 읽을 수 없지만 다른 방식으로는 한 가지로만 읽히는 것은 그래도 받아들입니다. 스프레드시트에서 복사한 12,5를 이 한국어 페이지에 붙여 넣으면 십이 점 오가 됩니다. 다른 수일 수가 없기 때문입니다. 그에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다. 정해진 것이 없기 때문입니다. 읽는 방식이 하나뿐이었습니다.

남는 것은 정말로 모호한 경우이고, 그것은 대칭입니다. 쉼표를 쓰는 언어만의 문제가 아닙니다. 구분 기호 뒤에 정확히 세 자리가 따라오면 그것은 소수점일 수도 있고 천 단위 구분 기호일 수도 있습니다. 어느 문자든 마찬가지입니다. 이 한국어 페이지에서 1.234는 일 점 몇일 수도 있고 천이백삼십사일 수도 있으며, 1,234도 꼭 같은 방식으로 모호합니다. 독일어나 스페인어 페이지에서는 같은 두 표기가 역할을 맞바꾼 채 같은 두 질문을 던집니다. 그 모든 경우에 페이지의 언어가 결정을 내리고, 도구는 어느 쪽으로 읽었는지 알려 줍니다. 원하지 않은 추측이 답 속에 묻히지 않고 눈에 보이도록 하기 위해서입니다.

천 단위 구분 기호는 다른 것으로 오해할 여지가 없는 곳이라면 어디서나 받아들이므로, 1,048,576도 1 048 576도 백만하고 조금입니다. 답은 자기 언어의 구분 기호로 다시 쓰이므로, 그 수가 나온 문서에 결과를 그대로 붙여 넣을 수 있습니다.

정확한 답과, 반올림할 수밖에 없었던 답

백분율은 사람이 손으로 검산하는 산수라서, 이 도구는 프로그래밍 언어가 계산하듯 계산하지 않습니다. 브라우저가 기본으로 손을 뻗는 부동소수점이 아니라 정확한 십진수로 셈합니다. 그래서 끝까지 적을 수 있는 답은 아무리 길어져도 끝까지 적힙니다. 512분의 1은 0.1953%가 아니라 일곱 자리 그대로 0.1953125%입니다.

아예 적을 수 없는 답도 있습니다. 3분의 1은 33.3333…%로 3이 끝없이 이어지며, 아무리 조심해도 달라지지 않습니다. 그런 답은 소수점 아래 넷째 자리까지, 곧 실제로 쓸 수 있는 숫자로 보여 주고, 도구는 반올림했다고 말하며 그 아래에 더 긴 전개를 내놓습니다. 그렇게 말하는 뜻은 두 상황을 구별할 수 있게 하는 데 있습니다. 아래에 아무 알림도 없는 수는 정돈된 답이 아니라 답 전체입니다.

이 구별은 알림이 드물기 때문에만 성립하고, 알림이 드문 것은 설계에 따른 것입니다. 다만 알림이 끝없이 이어지는 답에만 붙는 것은 아닙니다. 기준값이 없는 두 패널은 100으로만 나누므로 거기서 끝없이 되풀이되는 것은 나오지 않습니다. 그래도 긴 소수끼리 곱하면 정확한 답이 적어 넣을 자리보다 훨씬 길어질 수 있습니다. 1.23456789의 0.0000001%는 소수점 아래 열일곱째 자리에서 딱 떨어지지만, 다른 답과 마찬가지로 표시를 위해 줄어듭니다. 페이지가 처음 보여 주는 다섯 개의 예시는 이런 일이 하나도 닿지 않도록 골랐습니다. 하나하나가 정확하고 짧게 떨어지므로, 아무것도 입력하기 전에 그 자리에 알림이 앉아 있다면 그것은 정말로 무언가가 반올림되고 있다는 뜻입니다.

소수점 아래 네 자리는 1에 가까운 수에는 좋은 규칙이지만, 0에 가까운 수에는 보여 줄 것이 남지 않는 쓸모없는 규칙입니다. 그래서 답이 너무 작아 네 자리로는 아무 말도 할 수 없을 때, 곧 0.00005보다 작을 때, 도구는 대신 유효숫자를 네 자리 세고 그 아래 전개는 열두 자리를 셉니다. 앞서의 열일곱 자리 답도 0이 아니라 0.000000001235로 보입니다. 다른 선택지는 0을 그대로 찍고 패널에서 유일하게 뜻 있는 숫자를 아래 알림이 떠맡게 하는 것이었지만, 그것은 페이지를 뒤집어 놓기에 택하지 않았습니다. 값이 답이고 알림은 고백이며, 그 반대가 아닙니다.