パーセント計算機

五つの式

「パーセント計算機」という言葉の裏には五つの異なる問いが隠れていて、違うほうに答えると、尋ねてもいない問いへの自信ありげな数が返ってきます。五つすべてを同時にページへ並べているのは、まさにそのためです。以下がその素の計算で、X と Y はそのパネルの二つの欄にあなたが入力するものです。

• Y の X% はいくつか — Y × X ÷ 100。60 に対する 25% の割引は 15 を引きます。
• X は Y の何パーセントか — X ÷ Y × 100。60 のうちの 15 は 25% です。
• X から Y への変化率はいくつか — (Y − X) ÷ X × 100。先月の 40 から今月の 60 へは 50% の増加です。
• X を Y% 変化させるといくつか — X + X × Y ÷ 100。20% 割引後の 60 は 48 で、二段階ではなく一段階で出ます。
• X は何の Y% か — X ÷ (Y ÷ 100)。118 が 18% の付加価値税込みの価格なら、税抜きの価格は 100 でした。

この先のページ全体を貫く言葉が一つあります。基準とは、パーセントがそれに対して測られる値、つまり計算が割る数のことです。五つのうち二つには基準がまったくありません。百でしか割らないからです。「Y の X%」と「X を Y% 変化させると」は入力できるどんな数の組でも動き、その答えは常に厳密に出ます。残る三つはあなたが選んだ数で割るので、答えのない問いを投げられるのはその三つだけであり、桁の終わらない答えを返しうるのもその三つだけです。

20% の上昇と 20% の下落は打ち消し合わない

100 を 20% 上げれば 120 です。そこから 20% 引けば 100 ではなく 96 です。二つの動きはパーセントでは同じ大きさ、言葉の上でも同じ隔たりなのに、それでもあなたは 4% 下に取り残されます。

壊れているものは何もありません。二つのパーセントは異なる基準に対して測られています。上昇は 100 の 20% で 20、下落は 120 の 20% で 24 です。パーセントはそれ自体で量であることは決してなく、何かに対する量であって、その何かが途中で変わったのです。

この差は偶然ではなく規則です。どんな大きさの上昇でも、同じ大きさの下落が続けば必ず損をし、しかも必ず同じだけ損をします。10% と 10% なら 1% 下、20% と 20% なら 4%、50% と 50% なら 25% です。順序も関係ありません。掛け算は順序を気にしないからです。先に 20% 下げて後から 20% 上げても、着地はやはり 96 です。

「50% 下げてから 50% 上げた」と報じられた株が依然として四分の一下にあるのはここですし、割引の上の割引が二つの和にならないのもここです。本当に元へ戻すものが知りたければ、三つめのパネルに尋ねてください。120 から 100 は −20% ではなく −16.6667% の変化です。

パーセントポイントはパーセントではない

中央銀行が政策金利を 2% から 3% に動かします。二つの新聞がそれを報じます。一方は金利が 1 ポイント上がったと言い、もう一方は金利が 50 パーセント上がったと言います。どちらも正しく、この二つを同じ主張として読んだ読者は、記事を五十倍ずれて読んだことになります。

• 1 パーセントポイントの上昇。これは二つの数字の差を、すでに書かれている単位のまま引いたものです。3 引く 2 は 1 です。
• 50 パーセントの上昇。これは出発点に対する変化です。初期値 2 に 1 を足すのは、もう半分ぶん増やすことにあたります。
• 同じ出来事、二つの真の文、二つの異なる数。どちらが引かれているかを教えてくれるのが「ポイント」という語で、それは本来あるべきよりはるかに頻繁に省かれます。

この混同は、予想どおりの方向でお金になります。1% から 2% に上がった手数料は 1 パーセントポイント上がって二倍になったのですが、それを「1% の上昇」と言えば、二倍が丸め誤差のように聞こえます。逆向きにも働きます。40% から 44% に動いた世論調査は 4 ポイント上がったのであって、それを「4% の上昇」と書けば過小に伝えます。40 の 4% は 1.6 ポイントにすぎないからです。

これのために六つめのパネルを置くことは、意図的にしていません。パーセントポイントは引き算です。ポイント差が欲しければ二つの数字を引けば、それで手に入ります。道具の値打ちがあるのはもう一方の読み方のほうで、それが三つめのパネルです。そこに 2 と 3 を入れれば、同じ動きが 50% の上昇だと教えてくれます。

パーセントを戻すことは引くことではない

請求書が 118 になり、18% の付加価値税はすでにその数字に入っています。税抜きの価格はいくらだったでしょうか。誘惑される手は 118 から 18% を引くことで、96.76 になります。正しい答えは 100 で、一段階で確かめられます。100 に 18% を足せば 118、96.76 に 18% を足せば 114.1768 です。

間違いは前の節と同じものが別の衣を着ているだけです。18% は税抜きの価格に足されたので、100 の 18% です。18% を引くことは税込みの価格からそれを取り去ることなので、118 の 18%、つまりかつて足されたことのない大きさを取り去ります。パーセントを足すことと同じパーセントを引くことは互いの逆演算ではなく、その差は小さくありません。ここでは 3.24、税抜き価格の三パーセント以上です。

しかも毎回同じ向きに外れるので、避けるだけでなく知っておく値打ちがあります。引き算で戻すやり方は毎回もとの数字を小さく見せるので、この方法で付加価値税を戻す事業者は、発行するすべての請求書で自分の税抜き売上を過少に申告することになります。

五つめのパネルがその逆算です。118 は何の 118% かと尋ねれば 100 と答えます。同じパネルは割引も扱います。20% 引きで 48 になったジャケットは、元の価格の 80% が 48 だということなので、48 は何の 80% かと尋ねれば 60 と答えます。20% を足し戻して得られる 57.6 ではありません。

変化がゼロより下から始まるとき

ある事業が一年目に 10 の損を出し、翌年に 10 の利益を出します。どう読んでもこれは回復ですが、変化率の標準の式は −200% を返します。ツールはその数字を見せ、その下の文では変化を増加と呼び、二つが食い違っていることをあなたに伝えます。

符号が逆に出るのは基準が負だからです。変化そのものは +20 であり、+20 を −10 で割ると結果の符号が反転する一方、それが表す変化は上に向かっていました。負の初期値から測られた本当の変化はすべてこの性質を持ち、この例だけの話ではありません。ゼロより下では、パーセントの符号は物事が実際に進んだ向きの逆になります。

ツールは基準の絶対値をとって、居心地のよい +200% を返すこともできました。意図的にそうしていません。表計算ソフトも会計パッケージもどの教科書も符号つきの式を使うので、黙って別の式を使う道具はあなたが突き合わせている数字と食い違うことになり、二つのうちどちらが規則を変えたのかを知る手立てがありません。向きを表す語は差だけから別に求められるので、符号が正しくなくなるところでも正しいままです。

結果として手元に残るのは、表計算と突き合わせられる数字と、人に言える文であって、この二つは同じ文ではありません。実務では、負の基準から測った変化率はどんな報告書でも疑ってかかる値打ちのある数字です。「10 の損失から 10 の利益に改善した」は事実を運びますが、「−200%」はどう計算されようとそれを誤って運びます。

カンマとピリオド、そしてあなたが意図した数

このページは十三の言語で存在し、そのうち八つは小数点をカンマで書きます。12,5 を百二十五と読む道具は、それらの言語で少し間違っているのではなく、その多数派において、まったくふつうに見える数の上で、黙って間違っていることになります。ですから読み方は、あなたがいるページの言語で決まり、あなたが向かっている機械の設定では決して決まりません。

あなた自身の言語が先に来ますが、そう読めなくてももう一方の読み方で一意に読めるものは、それでも受け入れられます。表計算ソフトから 12.5 をドイツ語のページに貼れば十二・五になります。ほかの数ではありえないからです。それについては何も言われません。何も決められなかったからです。読み方は一つしかありませんでした。

残るのは本当に曖昧な場合で、それは対称です。カンマの言語だけが抱える問題ではありません。区切りのあとにちょうど三桁が続くとき、それは小数点でも千の位の区切りでもありえます。どちらの文字であってもです。この日本語のページでは 1.234 は一と少しでも千二百三十四でもありえますし、1,234 もまったく同じように曖昧です。ドイツ語やスペイン語のページでは、同じ二つの書き方が役割を入れ替えて同じ二つの問いを立てます。そのどの場合でもページの言語が決着をつけ、ツールはどちらの読み方を採ったかを告げるので、あなたが望まなかった推測は答えの中に埋もれず目に見えます。

千の位の区切りは、ほかのものと取り違えようのないところではどこでも受け入れられるので、1,048,576 も 1 048 576 も百万と少しです。答えはあなたの言語の区切りで書き戻されるので、その数が出てきた文書に結果をそのまま貼り戻せます。

厳密な答えと、丸めざるをえなかった答え

パーセントは人が手で検算する計算なので、ツールはプログラミング言語がするようには計算しません。ブラウザーが既定で手を伸ばす浮動小数点数ではなく、厳密な十進で動きます。つまり、書き切れる答えはどれほど長くなろうと書き切られます。512 のうちの 1 は 0.1953125% で、その七桁すべてであって、0.1953% ではありません。

まったく書き切れない答えもあります。3 のうちの 1 は 33.3333…% で三が永遠に続き、どれだけ気をつけても変わりません。そうしたものは小数第四位まで、つまり実際に使える数字として示され、ツールは丸めたと言い、その下により長い展開を差し出します。そう言うことの意味は、二つの状況を見分けられるところにあります。下に通知のない数は整えられた答えではなく、答えそのものです。

この区別が保たれるのは通知が稀だからで、稀であることは造りによります。ただし通知は、いつまでも続く答えだけのものではありません。基準を持たない二つのパネルは百でしか割らないので、そこから終わりなく繰り返すものは出てきません。それでも長い小数どうしを掛ければ、厳密な答えが書き切れる長さをはるかに超えることはあります。1.23456789 の 0.0000001% は小数第十七位でぴたりと終わり、それでも他と同じように表示のために短くされます。ページが最初に見せる五つの計算例は、そのどれにもこうしたことが起こらないように選ばれています。どれも厳密に、しかも短く出るので、何も入力しないうちからそこに通知が座っていれば、本当に何かが丸められているという意味になります。

小数第四位までというのは、一に近い数にはよい決まりですが、零に近い数には示すものが何も残らない役立たずの決まりです。そこで、四桁では何も言えないほど答えが小さいとき、つまり 0.00005 を下回るとき、ツールは代わりに有効数字を四桁数え、その下の展開は十二桁数えます。先ほどの十七桁の答えは 0 ではなく 0.000000001235 と表示されます。もう一つの道は 0 をそのまま出し、パネルで唯一意味のある数字を下の通知に背負わせることでしたが、それはページを逆さまにしてしまうので採りませんでした。値が答えであり、通知はその告白です。逆ではありません。