Calcolatrice di percentuali

Le cinque formule

Dietro l’espressione «calcolatrice di percentuali» si nascondono cinque domande diverse, e rispondere a quella sbagliata restituisce un numero sicuro di sé a una domanda che non hai mai posto. È esattamente per questo che tutte e cinque stanno sulla pagina insieme. Eccole come aritmetica nuda, dove X e Y sono quello che scrivi nei due campi di quel pannello.

• Quanto fa il X% di Y? — Y × X ÷ 100. Uno sconto del 25% su 60 toglie 15.
• X è quale percentuale di Y? — X ÷ Y × 100. 15 su 60 è il 25%.
• Qual è la variazione percentuale da X a Y? — (Y − X) ÷ X × 100. Dai 40 del mese scorso ai 60 di questo c’è un aumento del 50%.
• Quanto fa X con una variazione del Y%? — X + X × Y ÷ 100. 60 dopo uno sconto del 20% fa 48, in un passo solo invece che in due.
• X è il Y% di che cosa? — X ÷ (Y ÷ 100). Se 118 è il prezzo con l’IVA al 18% già dentro, il prezzo prima dell’imposta era 100.

Una parola attraversa tutto il resto di questa pagina: la base è il valore rispetto al quale una percentuale viene misurata — il numero per cui il conto divide. Due delle cinque non hanno alcuna base, perché dividono soltanto per cento: «il X% di Y» e «X con una variazione del Y%» funzionano per qualsiasi coppia di numeri tu possa scrivere, e le loro risposte vengono sempre esatte. Le altre tre dividono per un numero che hai scelto tu, ed è per questo che solo a quelle tre si può porre una domanda senza risposta, e solo quelle tre possono produrre una risposta le cui cifre non finiscono mai.

Un aumento del 20% e un calo del 20% non si annullano

Alza 100 del 20% e hai 120. Togli il 20% da lì e hai 96, non 100. I due movimenti hanno la stessa dimensione in percentuale e la stessa distanza a parole, e ciò nonostante ti lasciano il 4% più in basso.

Non è andato storto niente. Le due percentuali sono misurate su basi diverse: l’aumento è il 20% di 100, cioè 20, e il calo è il 20% di 120, cioè 24. Una percentuale non è mai una quantità da sola — è una quantità rispetto a qualcosa, e quel qualcosa è cambiato nel frattempo.

Lo scarto è una regola, non un incidente. Un aumento di qualsiasi dimensione seguito da un calo della stessa dimensione perde sempre, e perde sempre altrettanto: 10% e 10% ti lasciano l’1% più in basso, 20% e 20% lasciano il 4%, 50% e 50% lasciano il 25%. Nemmeno l’ordine conta, perché alla moltiplicazione non importa: cala prima del 20% e sali poi del 20%, e atterri di nuovo su 96.

È qui che un titolo dato «in calo del 50% e poi in rialzo del 50%» resta un quarto più in basso, e che uno sconto su uno sconto non è la somma dei due. Se vuoi sapere che cosa ti riporterebbe davvero al punto di partenza, chiedilo al terzo pannello: da 120 a 100 la variazione è del −16,6667%, non del −20%.

I punti percentuali non sono percentuale

Una banca centrale porta il tasso di interesse dal 2% al 3%. Due giornali lo raccontano. Uno scrive che i tassi sono saliti di un punto, l’altro che i tassi sono saliti del 50 per cento. Hanno ragione entrambi, e chi prende le due frasi per la stessa affermazione ha letto la notizia sbagliando di un fattore cinquanta.

• Un aumento di un punto percentuale. È la differenza fra le due cifre, sottratta nelle unità in cui erano già scritte: 3 meno 2 fa 1.
• Un aumento del 50 per cento. È la variazione rispetto al punto di partenza: 1 in più su un valore iniziale di 2 è la metà in più.
• Lo stesso fatto, due frasi vere, due numeri diversi. La parola «punto» è quella che ti dice quale delle due viene citata, e viene omessa molto più spesso di quanto dovrebbe.

La confusione costa denaro, e nella direzione che ti aspetteresti. Una commissione che sale dall’1% al 2% è salita di un punto percentuale e si è raddoppiata; darla come «più 1%» fa suonare un raddoppio come un errore di arrotondamento. Vale anche al contrario: un sondaggio che passa dal 40% al 44% è salito di quattro punti, e descriverlo come «più 4%» dice troppo poco, dato che il 4% di 40 sarebbe 1,6 punti.

Un sesto pannello per questo non c’è, ed è voluto. I punti percentuali sono una sottrazione — se vuoi la differenza in punti, sottrai le due cifre e ce l’hai. Quello per cui vale la pena avere uno strumento è l’altra lettura, ed è il terzo pannello: scrivi 2 e 3 nel pannello della variazione e ti dice che lo stesso movimento è un aumento del 50%.

Scorporare una percentuale non è sottrarla

Arriva una fattura da 118, e il 18% di IVA è già dentro quella cifra. Qual era il prezzo prima dell’imposta? La mossa allettante è togliere il 18% da 118, il che dà 96,76. La risposta giusta è 100, e puoi verificarla in un passo: 100 più il 18% fa 118, mentre 96,76 più il 18% fa 114,1768.

L’errore è lo stesso della sezione qui sopra, con un altro vestito. Il 18% è stato aggiunto al prezzo prima dell’imposta, quindi è il 18% di 100. Sottrarre il 18% lo toglie dal prezzo dopo l’imposta, quindi toglie il 18% di 118 — un numero più grande di quello che era stato aggiunto. Aggiungere una percentuale e togliere la stessa percentuale non sono operazioni inverse, e la differenza non è piccola: qui sono 3,24, oltre il tre per cento del prezzo al netto dell’imposta.

E sbaglia ogni volta nella stessa direzione, ed è per questo che vale la pena conoscerlo e non soltanto evitarlo. Scorporare per sottrazione tiene la cifra originale troppo bassa tutte le volte, così un’attività che scorpori l’IVA in questo modo dichiara per difetto il proprio fatturato al netto dell’imposta su ogni fattura che emette.

Il quinto pannello è quello scorporo. Chiedigli di che cosa 118 sia il 118% e risponde 100. Lo stesso pannello fa gli sconti: una giacca che dopo il 20% di sconto costa 48 è 48 all’80% del suo vecchio prezzo, quindi chiedi di che cosa 48 sia l’80% e risponde 60 — non i 57,6 che vengono fuori rimettendo su il 20%.

Quando la variazione parte da sotto zero

Un’attività perde 10 in un anno e guadagna 10 in quello dopo. È una ripresa sotto qualsiasi lettura, e la formula consueta della variazione percentuale restituisce −200%. Lo strumento ti mostra quella cifra, chiama aumento la variazione nella frase sotto e ti dice che le due cose non vanno d’accordo.

Il segno esce al contrario perché la base è negativa. La variazione in sé è +20, e dividere +20 per −10 rovescia il segno del risultato mentre la variazione che descrive è andata verso l’alto. Ogni variazione reale misurata a partire da un valore iniziale negativo ha questa proprietà, non solo questa: sotto zero il segno della percentuale è l’opposto della direzione in cui le cose sono andate davvero.

Lo strumento potrebbe prendere il valore assoluto della base e restituire un comodo +200%. Di proposito non lo fa. I fogli di calcolo, i programmi di contabilità e ogni manuale usano la formula con il segno, quindi uno strumento che in silenzio ne usasse un’altra sarebbe in disaccordo con la cifra su cui lo stai controllando, e non avresti modo di sapere quale delle due ha cambiato le regole. La parola che indica la direzione è ricavata a parte, dalla sola differenza, e per questo resta giusta dove il segno non lo è.

Quello che ti resta è una cifra che puoi far quadrare con il tuo foglio di calcolo e una frase che puoi dire a una persona, e non sono la stessa frase. In pratica, una variazione percentuale a partire da una base negativa è una cifra da trattare con sospetto in qualsiasi relazione: «migliorata da una perdita di 10 a un utile di 10» porta il fatto, «−200%» lo porta male comunque sia stato calcolato.

Virgole, punti e il numero che intendevi

Questa pagina esiste in tredici lingue, e otto di esse scrivono il separatore decimale con la virgola — l’italiano è fra queste. Uno strumento che leggesse 12,5 come centoventicinque non sarebbe un po’ sbagliato in quelle lingue: sarebbe silenziosamente sbagliato nella maggior parte di esse, su numeri dall’aspetto perfettamente ordinario. Per questo la lettura la decide la lingua della pagina in cui ti trovi, e mai le impostazioni della macchina davanti a cui sei seduto.

La tua lingua viene per prima, e ciò che non si può leggere così ma si legge senza ambiguità nell’altro senso viene accettato lo stesso. Incolla 12.5 uscito da un foglio di calcolo su questa pagina italiana e ottieni dodici e mezzo, perché non c’è altro numero che potrebbe essere. Non ne viene detto nulla, perché nulla è stato deciso: esisteva una lettura sola.

Resta il caso davvero ambiguo, ed è simmetrico — non è un problema delle sole lingue della virgola. Un separatore seguito da esattamente tre cifre può essere un separatore decimale o un separatore delle migliaia, qualunque carattere sia. Su questa pagina italiana 1,234 è uno e qualcosa oppure milleduecentotrentaquattro, e 1.234 è ambiguo esattamente allo stesso modo; su una pagina inglese o giapponese le stesse due scritture pongono le stesse due domande con i ruoli scambiati. In ognuno di questi casi decide la lingua della pagina e lo strumento annuncia la lettura che ha usato, perché una supposizione che non volevi sia visibile invece che sepolta nella risposta.

I separatori delle migliaia sono accettati ovunque non si possano scambiare per altro, così 1,048,576 e 1 048 576 valgono entrambi un milione e qualcosa. Le risposte vengono riscritte con i separatori della tua lingua, così puoi incollare un risultato nel documento da cui i numeri erano usciti.

Risposte esatte e quelle che è stato necessario arrotondare

Le percentuali sono conti che le persone verificano a mano, quindi lo strumento non le calcola come farebbe un linguaggio di programmazione. Lavora in decimali esatti e non nei numeri in virgola mobile a cui un browser ricorre per impostazione predefinita, il che significa che una risposta che si può scrivere per intero viene scritta per intero, per quanto lunga risulti. 1 su 512 è lo 0,1953125%, tutte e sette le cifre, e non lo 0,1953%.

Certe risposte non si possono scrivere affatto. 1 su 3 è il 33,3333…% con i tre che corrono all’infinito, e nessuna cura lo cambia. Quelle vengono mostrate con quattro decimali — una cifra con cui puoi davvero lavorare — e lo strumento dice di aver arrotondato e offre sotto uno sviluppo più lungo. Il senso di dirlo è che tu possa distinguere le due situazioni: un numero senza alcun avviso sotto è la risposta intera, non una ripulita.

Quella distinzione regge solo perché l’avviso è raro, ed è raro per costruzione, pur non limitandosi alle risposte che proseguono all’infinito. I due pannelli senza base dividono per cento e per nient’altro, quindi da loro non esce nulla che si ripeta senza fine. Ma moltiplica due decimali lunghi e la risposta esatta può venire comunque assai più lunga di quanto ci sia spazio per scriverla: lo 0,0000001% di 1,23456789 viene esatto con diciassette decimali, e viene accorciato per la visualizzazione come qualsiasi altra cosa. I cinque esempi svolti con cui la pagina si apre sono stati scelti perché niente di tutto questo li tocchi: vengono esatti e corti tutti quanti, quindi un avviso lì prima che tu abbia scritto qualcosa vorrebbe dire che qualcosa viene davvero arrotondato.

Quattro decimali sono una buona regola per un numero vicino a uno e una regola inutile per un numero vicino a zero, dove non resta loro nulla da mostrare. Perciò, quando una risposta è troppo piccola perché quattro decimali dicano qualcosa — tutto ciò che sta sotto 0,00005 — lo strumento conta quattro cifre significative al loro posto, e lo sviluppo sottostante ne conta dodici. Quella risposta da diciassette decimali compare così come 0,000000001235 e non come 0. L’alternativa era stampare lo 0 e lasciare che l’avviso sotto portasse l’unica cifra vera del pannello, ed è stata scartata perché capovolge la pagina: il valore è la risposta e l’avviso è l’ammissione, non il contrario.