מחשבון אחוזים

חמש הנוסחאות

מאחורי הצירוף «מחשבון אחוזים» מסתתרות חמש שאלות שונות, ומענה על השאלה הלא נכונה נותן לכם מספר בטוח בעצמו לשאלה שמעולם לא שאלתם. בדיוק בגלל זה כל החמש נמצאות בדף בבת אחת. הנה הן כחשבון פשוט, כאשר X ו‑Y הם מה שתקלידו בשני השדות של אותה חלונית.

• כמה הם X% מתוך Y? — ‏Y × X ÷ 100. הנחה של 25% על 60 גורעת 15.
• ‏X הם כמה אחוזים מתוך Y? — ‏X ÷ Y × 100. ‏15 מתוך 60 הם 25%.
• מה השינוי באחוזים מ‑X ל‑Y? — ‎(Y − X) ÷ X × 100. מ‑40 בחודש שעבר ל‑60 החודש זו עלייה של 50%.
• כמה יהיה X אחרי שינוי של Y%? — ‏X + X × Y ÷ 100. ‏60 אחרי הנחה של 20% הם 48, בצעד אחד במקום בשניים.
• ‏X הם Y% ממה? — ‏X ÷ (Y ÷ 100). אם 118 הוא המחיר שכולל כבר מע״מ של 18%, המחיר לפני המע״מ היה 100.

מילה אחת עוברת כחוט השני בכל המשך הדף: הבסיס הוא הערך שהאחוז נמדד ביחס אליו — המספר שהחשבון מחלק בו. לשתיים מבין החמש אין בסיס כלל, מפני שהן מחלקות רק במאה: «כמה הם X% מתוך Y» ו«כמה יהיה X אחרי שינוי של Y%» עובדות עבור כל זוג מספרים שתקלידו, והתשובות שלהן תמיד יוצאות מדויקות. שלוש האחרות מחלקות במספר שאתם בחרתם, ולכן רק להן אפשר להציג שאלה שאין לה תשובה, ורק הן עלולות להחזיר תשובה שהספרות שלה אינן נגמרות לעולם.

עלייה של 20% וירידה של 20% אינן מבטלות זו את זו

העלו 100 ב‑20% ויהיו לכם 120. הורידו מזה 20% ויהיו לכם 96, לא 100. שתי התנועות זהות בגודלן באחוזים וזהות במרחקן במילים, ובכל זאת אתם נשארים 4% למטה.

שום דבר לא השתבש. שני האחוזים נמדדים מול בסיסים שונים: העלייה היא 20% מתוך 100, כלומר 20, והירידה היא 20% מתוך 120, כלומר 24. אחוז לעולם אינו כמות בפני עצמה — הוא כמות ביחס למשהו, והמשהו הזה השתנה בדרך.

הפער הוא כלל ולא מקרה. עלייה בכל גודל שאחריה ירידה באותו גודל תמיד מפסידה, ותמיד מפסידה בדיוק אותו שיעור: ‏10% ו‑10% משאירים אתכם 1% למטה, ‏20% ו‑20% משאירים 4%, ‏50% ו‑50% משאירים 25%. גם הסדר אינו משנה, מפני שלכפל אין סדר: הורידו 20% קודם והעלו 20% אחר כך, ותנחתו שוב על 96.

כאן מניה שמדווחת כי «ירדה 50% ואז עלתה 50%» עדיין נמצאת רבע למטה, וכאן הנחה על גבי הנחה אינה הסכום של השתיים. אם אתם רוצים לדעת מה באמת יחזיר אתכם לנקודת המוצא, שאלו את החלונית השלישית: מ‑120 ל‑100 צריך ירידה של 16.6667%, לא של 20%.

נקודות אחוז אינן אחוזים

בנק מרכזי מעלה את הריבית מ‑2% ל‑3%. שני עיתונים מדווחים על כך. האחד אומר שהריבית עלתה בנקודה אחת, השני אומר שהריבית עלתה ב‑50 אחוזים. שניהם צודקים, וקורא שמבין את שתי הכותרות כאותה טענה טעה בפי חמישים.

• עלייה של נקודת אחוז אחת. זהו ההפרש בין שני המספרים, מחוסר ביחידות שבהן הם כבר כתובים: ‏3 פחות 2 הם 1.
• עלייה של 50 אחוזים. זהו השינוי ביחס לנקודת המוצא: תוספת של 1 על ערך התחלתי של 2 היא חצי נוסף.
• אותו אירוע, שני משפטים נכונים, שני מספרים שונים. המילה «נקודה» היא זו שמסגירה איזה מבין השניים מצוטט, והיא נשמטת הרבה יותר ממה שראוי.

הבלבול עולה כסף בדיוק בכיוון שהייתם מנחשים. עמלה שעולה מ‑1% ל‑2% עלתה בנקודת אחוז אחת והוכפלה; ציטוט שלה כ«עלייה של 1%» גורם להכפלה להישמע כמו שגיאת עיגול. זה עובד גם לכיוון ההפוך: סקר שזז מ‑40% ל‑44% עלה בארבע נקודות, ותיאור שלו כ«עלייה של 4%» מקטין את האירוע, שהרי 4% מתוך 40 הם 1.6 נקודות בלבד.

אין לזה חלונית שישית, וזה מכוון. נקודות אחוז הן חיסור — אם אתם רוצים את הפרש הנקודות, החסירו את שני המספרים והרי הוא לפניכם. מה שבאמת שווה כלי הוא הקריאה השנייה, וזו החלונית השלישית: הקלידו בה 2 ו‑3 והיא תאמר לכם שאותה תזוזה עצמה היא עלייה של 50%.

היפוך אחוז אינו חיסור שלו

חשבונית מסתכמת ב‑118, ומע״מ של 18% כבר כלול במספר הזה. מה היה המחיר לפני המס? המהלך המפתה הוא להוריד 18% מ‑118, מה שנותן 96.76. התשובה הנכונה היא 100, ואפשר לבדוק אותה בצעד אחד: ‏100 בתוספת 18% הם 118, ואילו 96.76 בתוספת 18% הם 114.1768.

הטעות היא בדיוק זו שבפרק הקודם, במעיל אחר. ה‑18% נוספו למחיר שלפני המס, כלומר הם 18% מתוך 100. חיסור של 18% מוריד אותם מהמחיר שאחרי המס, כלומר מוריד 18% מתוך 118 — מספר גדול יותר מזה שאי פעם נוסף. הוספת אחוז והורדת אותו אחוז אינן פעולות הפוכות, וההפרש אינו קטן: כאן הוא 3.24, יותר משלושה אחוזים מן המחיר שלפני המס.

הוא גם נופל תמיד לאותו כיוון, ולכן שווה להכיר אותו ולא רק להיזהר ממנו. היפוך בדרך של חיסור מקטין את הסכום המקורי בכל פעם, כך שעסק שמהפך כך את המע״מ שלו מדווח בחסר על ההכנסה שלפני המס בכל חשבונית שהוא מוציא.

החלונית החמישית היא ההיפוך. שאלו אותה 118 הם 118% ממה, והיא תענה 100. אותה חלונית מטפלת גם בהנחות: מעיל שעולה 48 אחרי הנחה של 20% הוא 48 שהם 80% מן המחיר הקודם, אז שאלו 48 הם 80% ממה והיא תענה 60 — ולא 57.6, שהם מה שמתקבל מהוספת 20% בחזרה.

כשהשינוי מתחיל מתחת לאפס

עסק מפסיד 10 בשנה אחת ומרוויח 10 בשנה שאחריה. זו התאוששות בכל קריאה סבירה, והנוסחה המקובלת לשינוי באחוזים מחזירה מינוס 200%. הכלי מציג לכם את המספר הזה, קורא לשינוי עלייה במשפט שמתחתיו, ואומר לכם שהשניים אינם מסכימים.

הסימן יוצא הפוך מפני שהבסיס שלילי. השינוי עצמו הוא פלוס 20, וחלוקה של פלוס 20 במינוס 10 הופכת את הסימן של התוצאה בזמן שהשינוי שהיא מתארת הלך כלפי מעלה. לכל שינוי אמיתי שנמדד מערך התחלתי שלילי יש התכונה הזאת, לא רק לדוגמה הזאת: מתחת לאפס הסימן של האחוז הוא ההפך מן הכיוון שאליו הדברים באמת הלכו.

הכלי היה יכול לקחת את הערך המוחלט של הבסיס ולהחזיר פלוס 200% נוח. הוא בכוונה אינו עושה זאת. גיליונות אלקטרוניים, תוכנות הנהלת חשבונות וכל ספר לימוד משתמשים בנוסחה עם הסימן, ולכן כלי שהיה משתמש בשקט בנוסחה אחרת היה חולק על המספר שאתם בודקים מולו, ולא הייתה לכם דרך לדעת מי מן השניים שינה את הכללים. מילת הכיוון מחושבת בנפרד, מתוך ההפרש בלבד, ולכן היא נשארת נכונה גם במקום שבו הסימן אינו.

מה שנשאר בידיכם הוא מספר שאפשר להתאים לגיליון ומשפט שאפשר לומר לאדם, ואלה אינם אותו משפט. למעשה, שינוי באחוזים מבסיס שלילי הוא מספר שכדאי להתייחס אליו בחשד בכל דוח: «השתפר מהפסד של 10 לרווח של 10» נושא את העובדה, ו«מינוס 200%» נושא אותה שגוי, ולא משנה כיצד חושב.

פסיקים, נקודות, ואיזה מספר התכוונתם אליו

הדף הזה קיים בשלוש־עשרה שפות, ושמונה מהן כותבות את המפריד העשרוני כפסיק. כלי שהיה קורא את 12,5 כמאה עשרים וחמש לא היה טועה קצת בשפות האלה — הוא היה טועה בשקט ברובן, על מספרים שנראים רגילים לחלוטין. לכן הקריאה נקבעת לפי שפת הדף שאתם נמצאים בו, ולעולם לא לפי ההגדרות של המחשב שאתם יושבים מולו.

השפה שלכם קודמת, ומה שאי אפשר לקרוא כך אבל נקרא בבירור בדרך האחרת מתקבל בכל זאת. הדביקו 12.5 מתוך גיליון אלקטרוני לתוך דף בגרמנית ותקבלו שתים־עשרה וחצי, מפני שאין מספר אחר שזה יכול להיות. שום דבר לא נאמר על כך, מפני ששום דבר לא הוכרע: הייתה רק קריאה אחת.

מה שנשאר הוא המקרה הדו־משמעי באמת, והוא סימטרי — אין זו בעיה ששמורה לשפות הפסיק. מפריד שאחריו בדיוק שלוש ספרות יכול להיות מפריד עשרוני או מפריד אלפים, ויהיה התו אשר יהיה. בדף העברי הזה 1.234 יכול להיות אחד וקצת או אלף מאתיים שלושים וארבעה, ו‑1,234 דו־משמעי בדיוק באותה מידה; בדף בגרמנית או בספרדית שני הכתיבים מעלים את אותן שתי שאלות עצמן, בתפקידים הפוכים. בכל אחד מן המקרים האלה שפת הדף היא שמכריעה, והכלי מודיע באיזו קריאה השתמש — כך שניחוש שלא רציתם בו נראה לעין במקום להיקבר בתוך התשובה.

מפרידי אלפים מתקבלים בכל מקום שבו אי אפשר לבלבל אותם עם משהו אחר, ולכן 1,048,576 וגם ‎1 048 576 הם מיליון וקצת. התשובות נכתבות בחזרה עם המפרידים של השפה שלכם, כך שאפשר להדביק תוצאה ישר למסמך שהמספרים יצאו ממנו.

תשובות מדויקות, ואלה שהיה צריך לעגל

אחוזים הם חשבון שאנשים בודקים ביד, ולכן הכלי אינו מחשב אותם כפי ששפת תכנות הייתה עושה. הוא עובד בעשרוניים מדויקים ולא במספרי הנקודה הצפה שדפדפן שולח אליהם יד כברירת מחדל, ומשמעות הדבר היא שתשובה שאפשר לכתוב במלואה נכתבת במלואה, ארוכה ככל שתהיה. ‏1 מתוך 512 הם 0.1953125%, כל שבע הספרות שלהם, ולא 0.1953%.

יש תשובות שאי אפשר לכתוב במלואן כלל. ‏1 מתוך 3 הם 33.3333…% כשהשלוש רצה לנצח, ושום זהירות לא תשנה זאת. אלה מוצגות בארבע ספרות אחרי הנקודה — מספר שאפשר באמת להשתמש בו — והכלי אומר שהוא עיגל ומציע פירוט ארוך יותר מתחת. הטעם באמירה הזאת הוא שתוכלו להבחין בין שני המצבים: מספר שאין מתחתיו הודעה הוא התשובה המלאה, ולא תשובה שסודרה לתצוגה.

ההבחנה הזאת מחזיקה רק מפני שההודעה נדירה, והיא נדירה מעצם הבנייה — אבל היא אינה מוגבלת לתשובות שרצות לנצח. שתי החלוניות שאין להן בסיס מחלקות במאה ובשום דבר אחר, ולכן שום דבר שיוצא מהן אינו חוזר על עצמו בלי סוף. ובכל זאת, כשמכפילים שני שברים עשרוניים ארוכים זה בזה, התשובה המדויקת עלולה להיות ארוכה הרבה יותר משיש מקום לכתוב. כך למשל 0.0000001% מתוך 1.23456789 יוצאת מדויקת בשבע־עשרה ספרות אחרי הנקודה, ומקוצרת לתצוגה ככל תשובה אחרת. חמש הדוגמאות שהדף נפתח בהן נבחרו כך שדבר מכל זה לא ייגע בהן: כל אחת מהן מדויקת וקצרה, כך שהודעה שיושבת שם עוד לפני שהקלדתם דבר הייתה מעידה שמשהו באמת מעוגל.

ארבע ספרות אחרי הנקודה הן כלל טוב למספר שקרוב לאחד וכלל חסר תועלת למספר שקרוב לאפס, שהרי לא נשאר להן מה להראות. לכן כשתשובה קטנה מכדי שארבע ספרות יאמרו עליה דבר — כלומר קטנה מן הערך 0.00005 — הכלי סופר ארבע ספרות משמעותיות במקומן, והפירוט שמתחתיה סופר שתים־עשרה. כך אותה תשובה בת שבע־עשרה הספרות מוצגת בתור 0.000000001235 ולא בתור אפס. האפשרות האחרת הייתה להדפיס את האפס ולהשאיר את ההודעה שמתחתיו נושאת את המספר האמיתי היחיד בחלונית, והיא נדחתה מפני שהיא הופכת את הדף על פיו: הערך הוא התשובה וההודעה היא ההודאה, ולא להפך.