Calculatrice de pourcentage

Les cinq formules

Cinq questions différentes se cachent derrière l’expression « calculatrice de pourcentage », et répondre à la mauvaise donne un nombre assuré à une question que vous n’avez jamais posée. C’est exactement pour cela que les cinq figurent en même temps sur la page. Les voici en arithmétique simple, où X et Y sont ce que vous tapez dans les deux champs du panneau concerné.

• Combien font X % de Y ? — Y × X ÷ 100. Une remise de 25 % sur 60 enlève 15.
• X représente quel pourcentage de Y ? — X ÷ Y × 100. 15 sur 60, c’est 25 %.
• Quelle est la variation en pourcentage de X à Y ? — (Y − X) ÷ X × 100. De 40 le mois dernier à 60 ce mois-ci, c’est une hausse de 50 %.
• Combien font X après une variation de Y % ? — X + X × Y ÷ 100. 60 après une remise de 20 %, c’est 48, en une étape et non en deux.
• X représente Y % de quoi ? — X ÷ (Y ÷ 100). Si 118 est le prix TVA à 18 % déjà comprise, le prix avant la taxe était de 100.

Un mot traverse tout le reste de cette page : la base est la valeur à laquelle un pourcentage se rapporte — le nombre par lequel le calcul divise. Deux des cinq n’ont pas de base du tout, parce qu’elles ne divisent jamais que par cent : « X % de Y » et « X après une variation de Y % » fonctionnent pour toute paire de nombres que vous pouvez taper, et leurs réponses tombent toujours juste. Les trois autres divisent par un nombre que vous avez choisi, et c’est pourquoi elles seules peuvent recevoir une question sans réponse, et elles seules peuvent produire une réponse dont les décimales ne finissent jamais.

Une hausse de 20 % et une baisse de 20 % ne s’annulent pas

Faites monter 100 de 20 % et vous avez 120. Enlevez-en 20 % et vous avez 96, pas 100. Les deux mouvements ont la même taille en pourcentage et la même distance en mots, et pourtant vous finissez 4 % plus bas.

Rien n’a déraillé. Les deux pourcentages sont mesurés sur des bases différentes : la hausse, c’est 20 % de 100, soit 20, et la baisse, c’est 20 % de 120, soit 24. Un pourcentage n’est jamais une quantité à lui seul — c’est une quantité relative à quelque chose, et ce quelque chose a changé entre-temps.

L’écart est une règle et non un accident. Une hausse de n’importe quelle taille suivie d’une baisse de la même taille perd toujours, et perd toujours autant : 10 % et 10 % vous laissent 1 % plus bas, 20 % et 20 % laissent 4 %, 50 % et 50 % laissent 25 %. L’ordre n’y change rien non plus, car la multiplication s’en moque : baissez d’abord de 20 %, montez ensuite de 20 %, et vous retombez sur 96.

C’est là qu’une action annoncée « en baisse de 50 % puis en hausse de 50 % » reste inférieure d’un quart, et là qu’une remise ajoutée à une remise n’est pas la somme des deux. Si vous voulez savoir ce qui vous ramènerait vraiment au départ, posez la question au troisième panneau : de 120 à 100, la variation est de −16,6667 %, et non de −20 %.

Les points de pourcentage ne sont pas des pourcents

Une banque centrale fait passer le taux d’intérêt de 2 % à 3 %. Deux journaux le rapportent. L’un écrit que les taux ont monté d’un point, l’autre que les taux ont monté de 50 pour cent. Les deux ont raison, et le lecteur qui prend ces deux phrases pour la même affirmation s’est trompé d’un facteur cinquante en lisant l’article.

• Une hausse d’un point de pourcentage. C’est la différence entre les deux chiffres, soustraite dans les unités où ils étaient déjà écrits : 3 moins 2 font 1.
• Une hausse de 50 pour cent. C’est la variation par rapport au point de départ : 1 de plus sur une valeur initiale de 2, c’est la moitié en plus.
• Le même événement, deux phrases vraies, deux nombres différents. C’est le mot « point » qui vous dit laquelle des deux est citée, et il est omis bien plus souvent qu’il ne devrait l’être.

La confusion coûte de l’argent, dans le sens que vous imaginez. Des frais qui passent de 1 % à 2 % ont augmenté d’un point de pourcentage et ont doublé ; les annoncer comme « en hausse de 1 % » fait passer un doublement pour une erreur d’arrondi. Cela marche aussi dans l’autre sens : un sondage qui passe de 40 % à 44 % a gagné quatre points, et décrire cela comme « en hausse de 4 % » le sous-estime, puisque 4 % de 40 feraient 1,6 point.

Il n’y a délibérément pas de sixième panneau pour cela. Les points de pourcentage sont une soustraction — si vous voulez l’écart en points, soustrayez les deux chiffres et vous l’avez. Ce qui mérite un outil, c’est l’autre lecture, et c’est le troisième panneau : tapez 2 et 3 dans le panneau de variation, et il vous dit que le même mouvement est une hausse de 50 %.

Inverser un pourcentage n’est pas le soustraire

Une facture s’élève à 118, et les 18 % de TVA sont déjà dans ce chiffre. Quel était le prix avant la taxe ? Le geste tentant est d’enlever 18 % de 118, ce qui donne 96,76. La bonne réponse est 100, et vous pouvez la vérifier en une étape : 100 plus 18 %, cela fait 118, alors que 96,76 plus 18 % fait 114,1768.

L’erreur est la même que dans la section précédente, sous un autre habit. Les 18 % ont été ajoutés au prix avant taxe, ce sont donc 18 % de 100. Soustraire 18 % les retire du prix après taxe, donc retire 18 % de 118 — un nombre plus grand que celui qui a jamais été ajouté. Ajouter un pourcentage et retirer le même pourcentage ne sont pas des opérations inverses, et l’écart n’est pas petit : ici il est de 3,24, plus de trois pour cent du prix avant taxe.

Et il se trompe chaque fois dans le même sens, ce qui vaut la peine d’être su plutôt que simplement évité. Inverser par soustraction sous-estime le chiffre d’origine à chaque fois, si bien qu’une entreprise qui retrouve son prix hors taxe de cette manière déclare son propre chiffre d’affaires hors taxe en dessous de la réalité sur chaque facture qu’elle émet.

Le cinquième panneau est cette inversion. Demandez-lui de quoi 118 représente 118 %, et il répond 100. Le même panneau traite aussi les remises : un blouson qui coûte 48 après 20 % de remise, c’est 48 pour 80 % de son ancien prix — demandez donc de quoi 48 représente 80 %, et il répond 60, et non les 57,6 qu’on obtient en rajoutant 20 %.

Quand la variation part de dessous zéro

Une entreprise perd 10 une année et gagne 10 l’année suivante. C’est un redressement selon toute lecture, et la formule standard de la variation en pourcentage renvoie −200 %. L’outil vous montre ce chiffre, appelle la variation une hausse dans la phrase en dessous, et vous dit que les deux ne concordent pas.

Le signe sort à l’envers parce que la base est négative. La variation elle-même vaut +20, et diviser +20 par −10 retourne le signe du résultat alors que la variation qu’il décrit est allée vers le haut. Toute variation réelle mesurée depuis une valeur de départ négative a cette propriété, pas seulement celle-ci : en dessous de zéro, le signe du pourcentage est l’inverse du sens dans lequel les choses sont réellement allées.

L’outil pourrait prendre la valeur absolue de la base et vous rendre un confortable +200 %. Il s’en abstient délibérément. Les tableurs, les logiciels de comptabilité et tous les manuels emploient la formule signée, si bien qu’un outil qui en prendrait discrètement une autre serait en désaccord avec le chiffre que vous êtes en train de vérifier, sans que vous ayez le moyen de savoir lequel des deux a changé les règles. Le mot qui donne le sens est calculé à part, à partir de la seule différence, et il reste donc juste là où le signe ne l’est pas.

Ce qu’il vous reste, c’est un chiffre que vous pouvez rapprocher de votre tableur et une phrase que vous pouvez dire à quelqu’un, et ce n’est pas la même phrase. En pratique, une variation en pourcentage mesurée depuis une base négative est, dans n’importe quel rapport, un chiffre à traiter avec méfiance : « passée d’une perte de 10 à un bénéfice de 10 » porte le fait, et « −200 % » le porte de travers, quelle que soit la manière dont on le calcule.

Virgules, points, et le nombre que vous vouliez dire

Cette page existe en treize langues, et huit d’entre elles écrivent le séparateur décimal avec une virgule — le français en fait partie. Un outil qui lirait 12,5 comme cent vingt-cinq ne serait pas un peu faux dans ces langues : il serait silencieusement faux dans la majorité d’entre elles, sur des nombres qui ont l’air parfaitement ordinaires. La lecture est donc décidée par la langue de la page où vous êtes, et jamais par les réglages de la machine devant laquelle vous êtes assis.

Votre propre langue passe en premier, et ce qui ne peut pas se lire ainsi mais se lit sans ambiguïté dans l’autre sens est tout de même accepté. Collez 12.5 sorti d’un tableur sur cette page française et vous obtenez douze et demi, parce qu’il n’y a pas d’autre nombre que cela pourrait être. Rien n’est dit à ce sujet, parce que rien n’a été décidé : il n’existait qu’une seule lecture.

Reste le cas vraiment ambigu, et il est symétrique — ce n’est pas un problème réservé aux langues à virgule. Un séparateur suivi d’exactement trois chiffres peut être un séparateur décimal ou un séparateur de milliers, quel que soit le caractère employé. Sur cette page française, 1,234 est soit un et des poussières, soit mille deux cent trente-quatre, et 1.234 est ambigu exactement de la même façon ; sur une page anglaise ou japonaise, les deux mêmes écritures posent les deux mêmes questions avec les rôles échangés. Dans chacun de ces cas, la langue de la page tranche et l’outil annonce la lecture retenue, pour qu’une supposition dont vous ne vouliez pas soit visible plutôt qu’enfouie dans la réponse.

Les séparateurs de milliers sont acceptés partout où on ne peut les confondre avec autre chose, si bien que 1,048,576 et 1 048 576 valent tous deux un million et des poussières. Les réponses sont réécrites avec les séparateurs de votre propre langue, pour que vous puissiez coller un résultat dans le document d’où les nombres sortaient.

Les réponses exactes, et celles qu’il a fallu arrondir

Les pourcentages sont de l’arithmétique que les gens vérifient à la main, aussi l’outil ne les calcule-t-il pas comme le ferait un langage de programmation. Il travaille en décimaux exacts plutôt qu’avec les nombres à virgule flottante vers lesquels un navigateur se tourne par défaut, ce qui veut dire qu’une réponse qui peut s’écrire en entier s’écrit en entier, aussi longue soit-elle. 1 sur 512, c’est 0,1953125 %, les sept décimales comprises, et non 0,1953 %.

Certaines réponses ne peuvent pas s’écrire du tout. 1 sur 3, c’est 33,3333… %, avec les trois qui défilent sans fin, et aucune précaution n’y change rien. Celles-là sont affichées à quatre décimales — un chiffre dont vous pouvez vraiment vous servir — et l’outil dit qu’il a arrondi et propose un développement plus long en dessous. L’intérêt de le dire, c’est que vous pouvez distinguer les deux situations : un nombre sous lequel il n’y a aucune mention est la réponse entière, pas une réponse rangée.

Cette distinction ne tient que parce que la mention est rare, et elle est rare par construction, sans se limiter pour autant aux réponses qui courent sans fin. Les deux panneaux sans base divisent par cent et par rien d’autre : rien de ce qui en sort ne se répète indéfiniment. Mais multipliez deux décimaux longs et la réponse exacte peut rester bien trop longue pour tenir à l’écrit : 0,0000001 % de 1,23456789 tombe juste à dix-sept décimales, et se trouve raccourcie pour l’affichage comme n’importe quoi d’autre. Les cinq exemples résolus par lesquels la page commence ont été choisis pour que rien de tout cela ne les touche : chacun d’eux tombe juste et court, et une mention posée là avant que vous ayez tapé quoi que ce soit signifierait donc que quelque chose est réellement arrondi.

Quatre décimales sont une bonne règle pour un nombre proche de un et une règle inutile pour un nombre proche de zéro, où il ne leur reste rien à montrer. Aussi, quand une réponse est trop petite pour que quatre décimales disent quoi que ce soit — tout ce qui est sous 0,00005 —, l’outil compte quatre chiffres significatifs à leur place, et le développement en dessous en compte douze. Cette réponse à dix-sept décimales s’affiche donc 0,000000001235 et non 0. L’autre solution était d’afficher le 0 et de laisser la mention du dessous porter le seul chiffre réel du panneau ; elle a été écartée parce qu’elle met la page à l’envers : la valeur est la réponse et la mention est l’aveu, pas le contraire.