Calculadora de porcentajes

Las cinco fórmulas

Detrás de la expresión «calculadora de porcentajes» se esconden cinco preguntas distintas, y responder a la que no era da un número muy seguro de sí mismo a una pregunta que nunca hiciste. Justo por eso las cinco están en la página a la vez. Aquí las tienes como aritmética llana, donde X e Y son lo que escribas en los dos campos de ese panel.

• ¿Cuánto es el X% de Y? — Y × X ÷ 100. Un descuento del 25% sobre 60 quita 15.
• ¿Qué porcentaje es X de Y? — X ÷ Y × 100. 15 de 60 es el 25%.
• ¿Cuál es la variación porcentual de X a Y? — (Y − X) ÷ X × 100. De los 40 del mes pasado a los 60 de este hay una subida del 50%.
• ¿Cuánto es X con una variación del Y%? — X + X × Y ÷ 100. 60 tras un descuento del 20% es 48, en un solo paso en vez de en dos.
• ¿X es el Y% de qué? — X ÷ (Y ÷ 100). Si 118 es el precio con el 18% de IVA ya incluido, el precio antes del impuesto era 100.

Una palabra recorre el resto de esta página: la base es el valor con el que se mide un porcentaje — el número por el que divide la cuenta. Dos de las cinco no tienen base alguna, porque solo dividen entre cien: «el X% de Y» y «X con una variación del Y%» funcionan con cualquier par de números que puedas escribir, y sus resultados salen siempre exactos. Las otras tres dividen por un número que has elegido tú, y por eso solo a esas tres se les puede hacer una pregunta que no tiene respuesta, y solo esas tres pueden dar un resultado cuyas cifras no se acaben nunca.

Una subida del 20% y una bajada del 20% no se anulan

Sube 100 un 20% y tienes 120. Quítale a eso un 20% y tienes 96, no 100. Los dos movimientos son del mismo tamaño en porcentaje y están a la misma distancia en palabras, y aun así acabas un 4% por debajo.

No ha fallado nada. Los dos porcentajes se miden sobre bases distintas: la subida es el 20% de 100, o sea 20, y la bajada es el 20% de 120, o sea 24. Un porcentaje nunca es una cantidad por sí solo — es una cantidad relativa a algo, y ese algo cambió por el camino.

La diferencia es una regla, no un accidente. Una subida de cualquier tamaño seguida de una bajada del mismo tamaño siempre pierde, y siempre pierde lo mismo: 10% y 10% te dejan un 1% por debajo, 20% y 20% dejan un 4%, 50% y 50% dejan un 25%. El orden tampoco importa, porque a la multiplicación le da igual: baja primero un 20% y sube después un 20%, y vuelves a caer en 96.

Aquí está el motivo de que una acción de la que se dice «cayó un 50% y luego subió un 50%» siga estando un cuarto por debajo, y de que un descuento sobre otro descuento no sea la suma de los dos. Si quieres saber qué te devolvería de verdad al punto de partida, pregúntaselo al tercer panel: de 120 a 100 hay una variación del −16,6667%, no del −20%.

Los puntos porcentuales no son porcentaje

Un banco central mueve el tipo de interés del 2% al 3%. Dos periódicos lo cuentan. Uno dice que los tipos han subido un punto; el otro, que los tipos han subido un 50 por ciento. Los dos tienen razón, y quien los tome por la misma afirmación ha leído la noticia con un error de un factor de cincuenta.

• Una subida de un punto porcentual. Es la diferencia entre las dos cifras, restada en las unidades en las que ya estaban escritas: 3 menos 2 es 1.
• Una subida del 50 por ciento. Es la variación respecto al punto de partida: 1 más sobre un valor inicial de 2 es la mitad otra vez.
• El mismo hecho, dos frases verdaderas, dos números distintos. La palabra «punto» es la que te dice cuál de los dos se está citando, y se omite mucho más a menudo de lo que debería.

La confusión cuesta dinero, y en la dirección que cabría esperar. Una comisión que sube del 1% al 2% ha subido un punto porcentual y se ha duplicado; contarlo como «un 1% más» hace que una duplicación suene a error de redondeo. También va en sentido contrario: una encuesta que pasa del 40% al 44% ha subido cuatro puntos, y describirlo como «un 4% más» se queda corto, porque el 4% de 40 serían 1,6 puntos.

No hay un sexto panel para esto, y es deliberado. Los puntos porcentuales son una resta — si quieres la diferencia en puntos, resta las dos cifras y ya la tienes. Para lo que sí merece la pena una herramienta es para la otra lectura, y esa es el tercer panel: escribe 2 y 3 en el panel de variación y te dirá que ese mismo movimiento es una subida del 50%.

Deshacer un porcentaje no es restarlo

Llega una factura de 118, y el 18% de IVA ya está dentro de esa cifra. ¿Cuál era el precio antes del impuesto? La tentación es quitarle a 118 un 18%, lo que da 96,76. La respuesta correcta es 100, y puedes comprobarlo en un paso: 100 más un 18% es 118, mientras que 96,76 más un 18% es 114,1768.

El error es el mismo de la sección anterior con otro traje. El 18% se sumó al precio antes del impuesto, así que es el 18% de 100. Restar un 18% se lo quita al precio después del impuesto, así que quita el 18% de 118 — un número mayor que el que se sumó nunca. Sumar un porcentaje y restar ese mismo porcentaje no son operaciones inversas, y la diferencia no es pequeña: aquí son 3,24, más de un tres por ciento del precio sin impuesto.

Y falla siempre en la misma dirección, que es la razón de que convenga conocerlo y no solo evitarlo. Deshacer restando deja la cifra original demasiado baja todas las veces, así que un negocio que revierta así su IVA declara de menos su propia facturación sin impuestos en cada factura que emite.

El quinto panel es esa reversión. Pregúntale de qué es 118 el 118% y responde 100. El mismo panel hace descuentos: una chaqueta que cuesta 48 tras un 20% de descuento es 48 al 80% de su precio anterior, así que pregunta de qué es 48 el 80% y responde 60, no los 57,6 que salen de volver a sumar un 20%.

Cuando la variación empieza por debajo de cero

Un negocio pierde 10 un año y gana 10 al siguiente. Eso es una recuperación se mire como se mire, y la fórmula habitual de la variación porcentual devuelve −200%. La herramienta te enseña esa cifra, llama subida a la variación en la frase de debajo y te avisa de que las dos cosas no concuerdan.

El signo sale al revés porque la base es negativa. La variación en sí es +20, y dividir +20 entre −10 le da la vuelta al signo del resultado mientras que la variación que describe fue hacia arriba. Toda variación real medida desde un valor inicial negativo tiene esta propiedad, no solo esta: por debajo de cero, el signo del porcentaje es el contrario de la dirección en la que las cosas fueron de verdad.

La herramienta podría tomar el valor absoluto de la base y devolver un cómodo +200%. Deliberadamente no lo hace. Las hojas de cálculo, los programas de contabilidad y todos los manuales usan la fórmula con signo, así que una herramienta que en silencio usara otra estaría en desacuerdo con la cifra que estás comprobando, y no tendrías modo de saber cuál de las dos ha cambiado las reglas. La palabra que indica el sentido se calcula aparte, solo a partir de la diferencia, y por eso sigue siendo correcta donde el signo no lo es.

Lo que te queda es una cifra que puedes cuadrar con tu hoja de cálculo y una frase que puedes decirle a una persona, y no son la misma frase. En la práctica, una variación porcentual desde una base negativa es una cifra que conviene mirar con recelo en cualquier informe: «pasó de 10 de pérdidas a 10 de beneficio» lleva el hecho, y «−200%» lo lleva mal, se calcule como se calcule.

Comas, puntos y qué número querías decir

Esta página existe en trece idiomas, y ocho de ellos escriben el separador decimal con una coma — el español entre ellos. Una herramienta que leyera 12,5 como ciento veinticinco no estaría un poco equivocada en esos idiomas: estaría equivocada en silencio en la mayoría de ellos, con números de aspecto perfectamente corriente. Por eso la lectura la decide el idioma de la página en la que estás, y nunca la configuración de la máquina delante de la que te sientas.

Tu propio idioma va primero, y lo que no se puede leer así pero sí se lee sin ambigüedad al revés se acepta igualmente. Pega 12.5 salido de una hoja de cálculo en esta página en español y obtienes doce y medio, porque no hay otro número que pudiera ser. De eso no se dice nada, porque nada se decidió: solo existía una lectura.

Queda el caso verdaderamente ambiguo, y es simétrico — no es un problema exclusivo de los idiomas de coma. Un separador seguido de exactamente tres cifras puede ser un separador decimal o un separador de miles, sea cual sea el carácter. En esta página en español, 1,234 es o bien uno con algo o bien mil doscientos treinta y cuatro, y 1.234 es ambiguo exactamente igual; en una página en inglés o en japonés, esas dos mismas escrituras plantean las dos mismas preguntas con los papeles intercambiados. En todos esos casos lo resuelve el idioma de la página y la herramienta anuncia qué lectura ha usado, para que una suposición que no querías quede a la vista en lugar de enterrada en el resultado.

Los separadores de miles se aceptan siempre que no puedan confundirse con otra cosa, así que 1,048,576 y 1 048 576 son ambos un millón y pico. Los resultados se escriben de vuelta con los separadores de tu propio idioma, para que puedas pegarlos en el documento del que salieron los números.

Resultados exactos y los que hubo que redondear

Los porcentajes son cuentas que la gente comprueba a mano, así que la herramienta no los calcula como lo haría un lenguaje de programación. Trabaja en decimales exactos y no en los números en coma flotante a los que un navegador recurre por defecto, lo que significa que un resultado que se puede escribir entero se escribe entero, por largo que salga. 1 de 512 es el 0,1953125%, sus siete decimales completos, y no el 0,1953%.

Algunos resultados no se pueden escribir de ninguna manera. 1 de 3 es el 33,3333…% con los treses corriendo para siempre, y no hay cuidado que lo cambie. Esos se muestran con cuatro decimales — una cifra con la que de verdad puedes trabajar — y la herramienta dice que ha redondeado y ofrece debajo un desarrollo más largo. El sentido de decirlo es que puedas distinguir las dos situaciones: un número sin ningún aviso debajo es la respuesta entera, no una respuesta arreglada.

Esa distinción solo se sostiene porque el aviso es raro, y es raro por construcción, aunque no se limita a los resultados que siguen para siempre. Los dos paneles sin base dividen entre cien y entre nada más, así que de ellos no sale nada que se repita sin fin. Pero multiplica dos decimales largos y el resultado exacto puede salir mucho más largo de lo que cabe escribir: el 0,0000001% de 1,23456789 sale exacto con diecisiete decimales, y se acorta para mostrarlo igual que cualquier otro. Los cinco ejemplos resueltos con los que empieza la página están elegidos para que nada de esto los toque: todos y cada uno salen exactos y cortos, así que un aviso ahí puesto antes de que hayas escrito nada significaría que de verdad se está redondeando algo.

Cuatro decimales son una buena regla para un número cercano a uno y una regla inútil para uno cercano a cero, donde ya no les queda nada que mostrar. Por eso, cuando un resultado es demasiado pequeño para que cuatro decimales digan nada — cualquier cosa por debajo de 0,00005 —, la herramienta cuenta cuatro cifras significativas en su lugar, y el desarrollo de debajo cuenta doce. Aquel resultado de diecisiete decimales se muestra así como 0,000000001235 y no como 0. La alternativa era imprimir el 0 y dejar que el aviso de debajo cargara con la única cifra real del panel, y se descartó porque pone la página del revés: el valor es la respuesta y el aviso es la confesión, no al contrario.