حاسبة النسبة المئوية

المعادلات الخمس

خلف عبارة «حاسبة النسبة المئوية» تختبئ خمسة أسئلة مختلفة، والإجابة عن السؤال الخطأ منها تعطيك رقمًا واثقًا من نفسه عن سؤال لم تطرحه قط. ولهذا السبب بالذات هي الخمسة كلها معروضة على الصفحة في آنٍ واحد. وهذه هي بحسابٍ صريح، حيث X وY هما ما تكتبه في حقلَي تلك اللوحة.

• كم يساوي X% من Y؟ — Y × X ÷ 100. فخصم 25% على 60 يحسم منه 15.
• كم نسبة X المئوية من Y؟ — X ÷ Y × 100. فـ15 من 60 هي 25%.
• ما التغيّر بالنسبة المئوية من X إلى Y؟ — ‎(Y − X) ÷ X × 100. فمن 40 في الشهر الماضي إلى 60 في هذا الشهر ارتفاع بنسبة 50%.
• كم يصير X بعد تغيّره بنسبة Y%؟ — X + X × Y ÷ 100. فـ60 بعد خصم 20% هي 48، في خطوة واحدة بدل خطوتين.
• العدد X هو Y% من كم؟ — X ÷ (Y ÷ 100). فإن كان 118 هو السعر وقد دخلت فيه ضريبة 18%، فالسعر قبل الضريبة كان 100.

وكلمة واحدة تجري في بقية هذه الصفحة كلها: الأساس هو القيمة التي تُقاس النسبة المئوية عليها — العدد الذي يقسم عليه الحساب. واثنان من هذه الأسئلة الخمسة بلا أساس البتة، لأنهما لا يقسمان إلا على مئة: فـ«كم يساوي X% من Y» و«كم يصير X بعد تغيّره بنسبة Y%» يعملان مع أي زوج أعداد تكتبه، وإجابتاهما تخرجان مضبوطتين دائمًا. أما الثلاثة الباقية فتقسم على عدد اخترته أنت، ولذلك هي وحدها التي يمكن أن تُسأل سؤالًا بلا جواب، وهي وحدها التي قد تعطي جوابًا لا تنتهي خاناته.

ارتفاع 20% وانخفاض 20% لا يلغي أحدهما الآخر

ارفع 100 بنسبة 20% فتصير 120. واحسم من ذلك 20% فتصير 96 لا 100. والحركتان متساويتان في المقدار بالنسبة المئوية ومتساويتان في المسافة بالكلام، ومع ذلك تتركانك أدنى بـ4%.

ولم يعطب شيء. فالنسبتان مقيستان على أساسين مختلفين: الارتفاع 20% من 100 أي 20، والانخفاض 20% من 120 أي 24. والنسبة المئوية ليست كمية قائمة بذاتها أبدًا — هي كمية منسوبة إلى شيء، وذلك الشيء قد تغيّر في الأثناء.

والفارق قاعدة لا مصادفة. فارتفاع بأي مقدار يتبعه انخفاض بالمقدار نفسه يخسر دائمًا، ويخسر القدر ذاته دائمًا: 10% و10% تتركانك أدنى بـ1%، و20% و20% تتركان 4%، و50% و50% تتركان 25%. والترتيب لا يهم كذلك، لأن الضرب لا يبالي به: اهبط 20% أولًا ثم ارتفع 20% بعدها، وستحطّ على 96 من جديد.

وهنا يبقى سهم أُعلن أنه «هبط 50% ثم صعد 50%» أدنى بالربع، وهنا لا يكون الخصم فوق الخصم مجموع الاثنين. وإن أردت أن تعرف ما الذي سيعيدك فعلًا إلى نقطة البداية، فاسأل اللوحة الثالثة: من 120 إلى 100 تغيّر مقداره ‎−16.6667%، لا ‎−20%.

النقاط المئوية ليست نسبًا مئوية

يرفع بنك مركزي سعر الفائدة من 2% إلى 3%. فتنقل الخبر صحيفتان: تقول إحداهما إن الفائدة ارتفعت نقطة واحدة، وتقول الأخرى إنها ارتفعت 50 في المئة. وكلتاهما مُحقّة، والقارئ الذي يأخذ العبارتين على أنهما دعوى واحدة يكون قد أخطأ في قراءة الخبر بمقدار خمسين ضعفًا.

• ارتفاع بنقطة مئوية واحدة. وهذا هو الفرق بين الرقمين مطروحًا بالوحدات التي كُتبا بها أصلًا: 3 ناقص 2 يساوي 1.
• ارتفاع بنسبة 50 في المئة. وهذا هو التغيّر منسوبًا إلى حيث بدأ: زيادة 1 على قيمة ابتدائية مقدارها 2 هي نصفها مرة أخرى.
• الحدث نفسه، وجملتان صادقتان، ورقمان مختلفان. وكلمة «نقطة» هي التي تدلّك على أي القراءتين يُنقل، وهي تُحذف أكثر بكثير مما ينبغي.

والالتباس يكلّف مالًا في الاتجاه الذي تتوقعه. فرسم يرتفع من 1% إلى 2% قد ارتفع نقطة مئوية واحدة وتضاعف؛ ونقله على أنه «ارتفاع بنسبة 1%» يجعل التضاعف يبدو خطأ تقريب. ويجري الأمر في الاتجاه المعاكس أيضًا: استطلاع ينتقل من 40% إلى 44% قد ارتفع أربع نقاط، ووصف ذلك بأنه «ارتفاع بنسبة 4%» يبخسه حقه، إذ إن 4% من 40 هي 1.6 نقطة.

ولا توجد لوحة سادسة لهذا، وذلك عن قصد. فالنقاط المئوية طرح — إن أردت فرق النقاط فاطرح الرقمين، وقد صار بين يديك. أما ما يستحق أداة حقًا فهو القراءة الأخرى، وهي اللوحة الثالثة: اكتب فيها 2 و3 فتخبرك أن الحركة نفسها ارتفاع بنسبة 50%.

عكس النسبة المئوية ليس طرحها

تبلغ فاتورة 118، وضريبة القيمة المضافة 18% داخلة في هذا الرقم أصلًا. فما كان السعر قبل الضريبة؟ الحركة المغرية أن تحسم 18% من 118، فتحصل على 96.76. والجواب الصحيح 100، ويمكنك التحقق منه في خطوة واحدة: 100 زائدًا 18% تساوي 118، بينما 96.76 زائدًا 18% تساوي 114.1768.

والخطأ هو نفسه خطأ الفقرة السابقة في ثوب آخر. فالـ18% أُضيفت إلى السعر الذي قبل الضريبة، أي أنها 18% من 100. وطرح 18% يحسمها من السعر الذي بعد الضريبة، أي يحسم 18% من 118 — وهو عدد أكبر مما أُضيف يومًا. فإضافة نسبة مئوية وحسم النسبة نفسها ليستا عمليتين متعاكستين، والفرق ليس صغيرًا: هو هنا 3.24، أي أكثر من ثلاثة في المئة من السعر الذي قبل الضريبة.

وهو يميل إلى الاتجاه نفسه في كل مرة، ولذلك يستحق أن يُعرف لا أن يُتجنّب فحسب. فالعكس بالطرح يبخس الرقم الأصلي حقه في كل مرة، حتى إن المنشأة التي تعكس ضريبتها على هذا النحو تُبلّغ عن إيرادها قبل الضريبة أقل مما هو عليه في كل فاتورة تصدرها.

واللوحة الخامسة هي العكس. اسألها: 118 هي 118% من كم، فتجيب 100. وتفعل اللوحة نفسها هذا مع الخصومات: سترة ثمنها 48 بعد خصم 20% هي 48 التي تمثل 80% من سعرها القديم، فاسأل: 48 هي 80% من كم، فتجيب 60 — لا 57.6 التي تحصل عليها بإضافة 20% مرة أخرى.

حين يبدأ التغيّر تحت الصفر

تخسر منشأة 10 في سنة وتربح 10 في التي تليها. وهذا تعافٍ بأي قراءة، ومع ذلك تعيد المعادلة المعيارية للتغيّر بالنسبة المئوية ‎−200%. والأداة تعرض عليك هذا الرقم، وتسمّي التغيّر ارتفاعًا في الجملة التي تحته، وتخبرك أن الاثنين لا يتفقان.

والإشارة تخرج مقلوبة لأن الأساس سالب. فالتغيّر نفسه هو ‎+20، وقسمة ‎+20 على ‎−10 تقلب إشارة الناتج بينما التغيّر الذي يصفه قد مضى صعودًا. وكل تغيّر حقيقي يُقاس من قيمة ابتدائية سالبة له هذه الخاصية، لا هذا وحده: فتحت الصفر تكون إشارة النسبة المئوية عكس الاتجاه الذي مضت إليه الأمور فعلًا.

وكان في وسع الأداة أن تأخذ القيمة المطلقة للأساس وتعيد ‎+200% مريحة. وهي لا تفعل ذلك عن قصد. فالجداول الحسابية وبرامج المحاسبة وكل كتاب مدرسي تستعمل المعادلة بإشارتها، ولذلك فإن أداة تستعمل في صمت معادلة أخرى كانت ستخالف الرقم الذي تراجعها به، ولن يكون لديك سبيل إلى معرفة أيّ الاثنين غيّر القواعد. أما كلمة الاتجاه فتُحسب على حدة من الفرق وحده، ولذلك تبقى صحيحة حيث لا تبقى الإشارة صحيحة.

وما يبقى في يدك رقم يمكنك مطابقته بجدولك وجملة يمكنك أن تقولها لإنسان، وليستا الجملة نفسها. وعمليًا، التغيّر بالنسبة المئوية من أساس سالب رقم جدير بالريبة في أي تقرير: فعبارة «تحسّن من خسارة 10 إلى ربح 10» تحمل الواقعة، وعبارة «‎−200%» تحملها على وجه خاطئ مهما حُسبت.

الفواصل والنقاط، وأي عدد قصدت

هذه الصفحة موجودة بثلاث عشرة لغة، وثمانٍ منها تكتب الفاصلة العشرية فاصلةً. وأداة تقرأ 12,5 على أنها مئة وخمسة وعشرون لا تكون مخطئة قليلًا في تلك اللغات — بل تكون مخطئة في صمت في أكثريتها، على أعداد تبدو عادية تمامًا. ولذلك تُحسم القراءة بلغة الصفحة التي أنت فيها، لا بإعدادات الجهاز الذي أمامك أبدًا.

ولغتك أولًا، وما لا يمكن أن يُقرأ على ذلك النحو لكنه يُقرأ بلا لبس على النحو الآخر يُقبل مع ذلك. الصق 12.5 من جدول حسابي في صفحة ألمانية فتحصل على اثني عشر ونصف، لأنه لا يوجد عدد آخر يمكن أن يكونه. ولا يُقال في ذلك شيء، لأنه لم يُحسم شيء: لم تكن هناك إلا قراءة واحدة.

وتبقى الحالة الملتبسة حقًا، وهي متناظرة — ليست مشكلة تخصّ لغات الفاصلة وحدها. ففاصل يليه ثلاث خانات بالضبط يمكن أن يكون فاصلة عشرية أو فاصل آلاف، أيًّا كان الحرف. وفي هذه الصفحة العربية قد يكون 1.234 واحدًا وكسرًا أو ألفًا ومئتين وأربعة وثلاثين، و1,234 ملتبس بالقدر نفسه تمامًا؛ وفي صفحة ألمانية أو إسبانية تثير الكتابتان نفساهما السؤالين نفسيهما مع تبادل الدورين. وفي كل واحدة من تلك الحالات تحسم لغة الصفحة الأمر وتعلن الأداة بأي قراءة أخذت، حتى يكون التخمين الذي لم تُرده ظاهرًا للعين لا مدفونًا في الجواب.

وتُقبل فواصل الآلاف في كل موضع لا يمكن أن تُخلط فيه بغيرها، فـ1,048,576 و‎1 048 576 كلاهما مليون وكسر. وتُكتب الإجابات بفواصل لغتك أنت، حتى تستطيع لصق الناتج في المستند الذي خرجت منه الأعداد.

الإجابات المضبوطة، وتلك التي اضطُر إلى تقريبها

النسب المئوية حساب يراجعه الناس بأيديهم، ولذلك لا تحسبها الأداة كما تفعل لغة برمجة. فهي تعمل بالكسور العشرية المضبوطة لا بأعداد الفاصلة العائمة التي يمدّ المتصفح يده إليها افتراضًا، ومعنى ذلك أن الجواب الذي يمكن كتابته كاملًا يُكتب كاملًا مهما طال. فـ1 من 512 هي 0.1953125%، بخاناتها السبع كلها، لا 0.1953%.

وثمة إجابات لا يمكن كتابتها كاملة البتة. فـ1 من 3 هي 33.3333…% والثلاثات تجري إلى ما لا نهاية، ولا يغيّر ذلك أي قدر من العناية. وتُعرض هذه بأربع خانات عشرية — رقم يمكنك استعماله فعلًا — وتقول الأداة إنها قرّبت وتعرض توسعة أطول تحته. والفائدة من قولها ذلك أن تستطيع التمييز بين الحالتين: فعدد لا إشعار تحته هو الجواب كله، لا جواب هُذّب للعرض.

ولا يصمد هذا التمييز إلا لأن الإشعار نادر، وهو نادر بحكم البناء — وإن لم يكن مقصورًا على الإجابات التي تجري بلا نهاية. فاللوحتان اللتان بلا أساس تقسمان على مئة ولا شيء غيرها، فلا يخرج منهما شيء يتكرر بلا انتهاء. لكن اضرب كسرين عشريين طويلين أحدهما في الآخر، وقد يخرج الجواب المضبوط أطول بكثير مما يتسع له المكان. فحاصل 0.0000001% من 1.23456789 يخرج مضبوطًا عند سبع عشرة خانة عشرية، ويُختصر للعرض شأنه شأن غيره. أما الأمثلة الخمسة المحلولة التي تفتتح بها الصفحة فاختيرت بحيث لا يمسّها شيء من هذا: كل واحد منها مضبوط وقصير، حتى يكون إشعارٌ جالس هناك قبل أن تكتب شيئًا دلالةً على أن شيئًا ما يُقرَّب فعلًا.

وأربع خانات عشرية قاعدة جيدة لعدد قريب من الواحد وعديمة الفائدة لعدد قريب من الصفر، إذ لا يبقى لها ما تعرضه. ولذلك حين يكون الجواب أصغر من أن تقول عنه أربع خانات شيئًا — أي أصغر من 0.00005 — تَعُدّ الأداة أربع خانات معنوية بدلًا منها، ويَعُدّ التوسيع الذي تحته اثنتي عشرة. فذلك الجواب ذو السبع عشرة خانة يظهر هكذا: 0.000000001235، لا صفرًا. وكان البديل أن يُطبع الصفر ويُترك الإشعار تحته حاملًا الرقم الحقيقي الوحيد في اللوحة، وقد رُفض لأنه يقلب الصفحة رأسًا على عقب: القيمة هي الجواب والإشعار هو الاعتراف، لا العكس.